Droites du plan
Seconde
Année scolaire
2013/2014
I) Rappel: fonction affine
Soient a et b deux nombres réels, on définit la fonction f par f(x) = ax + b pour tout x
∈ℝ. On sait que f est une fonction affine dont la représentation graphique est une droite
dans un repère orthogonal du plan. Droites du plan seconde simple. – a est le coefficient directeur de la droite
– b est son ordonnée à l'origine
Exemple:
Si f(x) = 3x – 1:
Ici, le coefficient directeur de la droite est 3 et son ordonnée à l'origine est – 1
II) Equation réduite d'une droite:
On considère une droite (d) et M(x;y), un point, tel que M∈(d). Pour cette droite (d) donnée, il existe une relation entre x et y valable pour tous les
points situés dessus. Cette relation est appelée une équation de la droite (d)
En classe de Seconde, on n'étudiera que l'équation réduite d'une droite (les équations
cartésiennes seront vues en première)
Remarque très importante:
Une droite donnée n'admet qu'une seule équation réduite. Il y a trois cas à connaître: droite horizontale, droite verticale et droite oblique.
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Ma mère m'a pris un abonnement pour le dernier trimestre de ma 3ème et m'aider à mieux réviser pour le brevet des collèges. J'ai beaucoup aimé le côté pratique et accessible depuis n'importe quel support. Ça m'a permis aussi de m'organiser. Et j'ai eu mon brevet! :-) Manon 16/10/2019
Bonjour, Bordas est le seul support sur lequel mon fils ait travaillé cette année. Résultat il a eu son brevet avec mention! Merci. On continue l'an prochain!! S-T 12/07/2019
Site parfait pour les enfants motivés... Au départ, la partie où on évalue le niveau peut bloquer les enfants mais c'est un passage obligé... Droites du plan seconde dans. 2 enfants ont un compte. Celle qui y va régulièrement est très contente et ça l'aide pour s'entraîner. En revanche, l'autre qui voulait juste un petit complément d'explication a laissé tomber... Je recommande et recommence l'an prochain c'est sûr! Amelie 26/03/2019
Je n'ai pas regretté d'avoir choisi le support Bordas pour mes enfants! Solonirina 26/03/2019
Site facile d'accès. Très bon complément aux cours.
En déduire son équation réduite. Méthode 1
Comme $d$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}(3;2)$, on pose: $-b=3$ et $a=2$. Ce qui donne: $a=2$ et $b=-3$
Donc $d$ a une équation du type: $2x-3y+c=0$. Et, comme $d$ passe par $A(-1;1)$, on obtient: $2×(-1)-3×1+c=0$. Et par là: $c=5$
Donc $d$ a pour équation cartésienne: $2x-3y+5=0$. Droites du plan - Cours et exercices de Maths, Seconde. Méthode 2
$M(x;y)∈d$ $⇔$ ${AM}↖{→}$ et ${u}↖{→}$ sont colinéaires. Or ${AM}↖{→}$ a pour coordonnées: $(x+1;y-1)$. Et ${u}↖{→}$ a pour coordonnées: $(3;2)$. Donc: $M(x;y)∈d$ $⇔$ $(x+1)×2-3×(y-1)=0$
Donc: $M(x;y)∈d$ $⇔$ $2x+2-3y+3=0$
Donc: $M(x;y)∈d$ $⇔$ $2x-3y+5=0$
Ceci est une équation cartésienne de la droite $d$. On note que: $2x-3y+5=0$ $⇔$ $-3y=-2x-5$ $⇔$ $y={-2x-5}/{-3}$ $⇔$ $y={2}/{3}x+{5}/{3}$
Quelque soit la méthode choisie pour trouver une équation cartésienne, on en déduit l' équation réduite:
$y={2}/{3}x+{5}/{3}$
Attention! Une droite admet une unique équation réduite mais une infinité d'équations cartésiennes (toutes proportionnelles). On note que, si ${u}↖{→}(-b;a)$ et ${u'}↖{→}(-b';a')$, alors $det({u}↖{→}, {u'}↖{→})=a'b-ab'$
D'où la propriété qui suit.
Droites Du Plan Seconde Simple
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-y-1, =, 0, (L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-x+y+1, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$
La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $x$ dans la ligne $L_2$
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2y+4, =, 0, (L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; y, =, 2$
$⇔$ $\{\table x-3×2+3, =, 0; y, =, 2 $
$⇔$ $\{\table x=3; y=2 $
Méthode 2: Nous allons procéder par substitution. (S) $⇔$ $\{\table y={-1}/{-3}x-{3}/{-3}; x-y-1=0$
Remplacer $y$ par son expression dans la seconde ligne permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans dans la seconde ligne
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-({1}/{3}x+1)-1=0$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-{1}/{3}x-1-1=0$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; {2}/{3}x=2$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x=2×{3}/{2}=3$
$⇔$ $\{\table y={1}/{3}×3+1=2; x=3$
Méthode 3: Pour les curieux, nous allons procéder par combinaisons linéaires en choisissant d'éliminer $y$ cette fois-ci. $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); 3x-3y-3, =, 3×0, (3L_2 ⇨L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-3x+3y+3, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$
La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans la ligne $L_2$
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2x+6, =, 0, (L_2)$
$⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; x, =, 3$
$⇔$ $\{\table 3-3y+3, =, 0; x, =, 3 $
$⇔$ $\{\table y=2; x=3 $
On retrouve la solution du système $(x;y)=(3;2)$.
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires (voir exemple suivant). Le principe est toujours d'éliminer une inconnue dans certaines équations. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J). 1. Tracer les droites associées au système: (S): $\{\table x-3y+3=0; x-y-1=0$
2. Résoudre graphiquement le système précédent. 2de gé - Droites du plan - Nomad Education. 3. Après avoir vérifié par un calcul rapide que le système a bien une solution unique, résoudre algébriquement ce système. 1. Méthode 1: A savoir: une égalité du type $ax+by+c=0$
(avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls) est une équation cartésienne de droite. Il est facile d'en trouver 2 points en remplaçant, par exemple, $x$ par 0 pour l'un, et $y$ par 0 pour l'autre. La première ligne est associée à la droite $d_1$ passant par les points $A(0;1)$ et $B(-3;0)$. Ici, pour trouver A, on a écrit: $0-3y+3=0$, ce qui a donné: $y=1$. Et pour trouver B, on a écrit: $x-3×0+3=0$, ce qui a donné: $x=-3$.
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3. Tracer une droite connaissant son équation
cartésienne ax + by + c = 0
équation cartésienne, on peut:
l'équation cartésienne,
droite ( d 4)
d'équation −3 x + 2 y − 6 = 0. On choisit arbitrairement deux valeurs
de x,
par exemple 0 et 2. On calcule
les valeurs de y correspondantes. Programme de Maths en Seconde : la géométrie. Pour x = 0,
on a: −3 × 0 + 2 y − 6 = 0
soit 2 y − 6 = 0
d'où y = 3. ( d 4) passe
donc par le point A(0; 3). Pour x = 2,
on a: −3 × 2 + 2 y − 6 = 0
soit −6 + 2 y −6 = 0
d'où y = 6.
donc par le point B(2; 6). On place ces deux points A(0; 3)
et B(2; 6) dans le
On trace la droite qui relie les deux points. On
obtient la représentation graphique
de ( d 4):
à l'origine et en utilisant un vecteur directeur
l'ordonnée à l'origine et
d'un vecteur directeur
premier point de coordonnées (0; y(0));
identifier les coordonnées d'un
vecteur directeur de la droite. D'après un théorème du
cours, si ax + by + c = 0
est une équation cartésienne
d'une droite ( d), alors le
vecteur est un vecteur
directeur de ( d);
à l'aide du vecteur
directeur, placer un second
point de la droite à partir du
souhaitée.
Introduction aux droites
Cette page s'adresse aux élèves de seconde et des premières technologiques. Dans les programmes de maths, les droites dans le plan repéré se rencontrent dans deux contextes: en tant que représentation graphique des fonctions affines et linéaires mais aussi en tant qu'objet mathématique spécifique, ce qui permet par exemple de caractériser des figures géométriques. Ces deux notions sont de toute façon très liées et ont déjà été abordées en classe de troisième. Situons-nous en terrain connu. En l'occurrence, dans un plan muni d'un repère \((O\, ;I, J). \)
Définition
Une droite \((AB)\) est l' ensemble des points \(M(x\, ;y)\) du plan qui sont alignés avec \(A\) et \(B. \) Cela peut sembler bizarre de définir une droite par un ensemble de points mais quand on y réfléchit un peu, pourquoi pas…
Équations de droites
Tous ces points \(M\) ont des coordonnées qui vérifient une même relation, nommée équation cartésienne de la droite \((AB). \)
Cette relation algébrique s'écrit sous la forme \(αx + βy + δ = 0\) (\(α, \) \(β\) et \(δ\) étant des réels).
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