Pour la formule proposée donne: et elle est donc vérifiée. Supposons-la établie au rang alors pour tout: On sépare la somme en deux, puis on ré-indexe la seconde en posant: On isole alors, dans la première somme, le terme d'indice et, dans la seconde, celui d'indice puis on fusionne ce qui reste en une seule somme. Exercice de récurrence 2. On obtient ainsi: Or: donc: soit finalement: ce qui établit la formule au rang
On va établir la proposition suivante:
Soit et soient ses diviseurs. Notons le nombre de diviseurs de Alors:
On raisonne par récurrence sur le nombre de facteurs premiers de
Pour il existe et tels que La liste des diviseurs de est alors: et celle des nombres de diviseurs de chacun d'eux est: Or il est classique que la propriété voulue est donc établie au rang
Supposons la établie au rang pour un certain
Soit alors un entier naturel possédant facteurs premiers. On peut écrire avec possédant facteurs premiers, et
Notons les diviseurs de et le nombre de diviseurs de pour tout
Les diviseurs de sont alors les pour et le nombre de diviseurs de est On constate alors que: Ce résultat est attribué au mathématicien français Joseph Liouville (1809 – 1882).
Exercice De Récurrence Pdf
Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces $n$ points est $\dfrac{n(n-1)}2$. 6: Raisonnement par récurrence - somme des angles dans un
polygone
Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé à $n$ côtés vaut
$(n-2)\pi$ radian. 7: Raisonnement par récurrence & inégalité
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=u_n+2n+5$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt n^2$. 8: Conjecturer, démontrer par récurrence - expression
de Un en fonction de n - formule explicite
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\sqrt{2+{u_n}^2}$. Calculer les quatre premiers termes de la suite. Conjecturer l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). Démontrer cette conjecture. Exercice d'application - Raisonnement par récurrence forte - MyPrepaNews. 9: Conjecturer, démontrer par récurrence - expression
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac
12 u_n+3$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac {-5}{2^n}+6$.
Exercice De Récurrence Un
Solutions détaillées de neuf exercices sur raisonnement par récurrence (fiche 01). Exercice 2 suites et récurrence. Cliquer ici pour accéder aux énoncés. Posons pour simplifier: pour tout
D'une part: est multiple de
D'autre part, si pour un certain il existe tel que alors:
La propriété « est multiple de » est donc héréditaire. Comme elle est vraie pour alors elle est vraie pour tout
Fixons
Au rang l'inégalité est claire:
Supposons-la vraie au rang pour un certain entier En multipliant chaque membre de l'inégalité par le réel strictement positif on obtient: c'est-à-dire: et donc, a fortiori:
On effectue une récurrence d'ordre On l'initialise en calculant successivement: car
et car
Passons à l'hérédité. Si, pour un certain on a et alors:
On peut établir directement l'inégalité demandée en étudiant les variations de la fonction: Il s'avère que celle-ci est croissante et donc majorée par sa limite en qui vaut On peut aussi invoquer l'inégalité très classique: (inégalité d'ailleurs valable pour tout et remplacer par D'une façon ou d'une autre, on parvient à: Prouvons maintenant que: par récurrence.
Ainsi, des loyers consignés à la Caisse des dépôts et consignations sont réputés disponibles, au titre de l'année de leur consignation, entre les mains du propriétaire qui a refusé d'en recevoir le paiement en raison d'un litige avec le locataire. En revanche, un revenu saisi en vertu d'une décision de justice et placé sous séquestre n'est imposable que lorsqu'il a été remis à la disposition du contribuable ou versé en son acquit au créancier dont l'action a provoqué la saisie. Exercice récurrence terminale. Par conséquent, la notion de revenu disponible pour l' administration fiscale pour les particuliers n'inclut pas les prestations sociales et ne déduit pas les impôts des années précédentes ni les cotisations sociales. Voir aussi [ modifier | modifier le code]
Articles connexes [ modifier | modifier le code]
Économie (discipline)
Revenu
Liens externes [ modifier | modifier le code]
BOI-IR-BASE-10-10-10-40-20120912 - IR - Base d'imposition - Revenu disponible
article 156 du Code général des impôts
Notes et références [ modifier | modifier le code]
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