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Drôle de lampe et drôle de bonhomme à tête d'ampoule, accroché au fil de la prise, vu sur Pinterest. Dans la série décoration insolite…
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Suite Récurrente Linéaire D Ordre 2 Exercices Interactifs
Quelle est la limite de cette suite? Soit la suite définie par:. Exprimer en fonction de n. Solution de la question 1
On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine:. Le polynôme caractéristique associé est. Le discriminant de P vaut donc P admet deux racines réelles et. L'ensemble des solutions de l'équation linéaire est alors constitué des suites de la forme, avec. On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence affine originale. On a P (1) = 0. On étudie donc
donc la suite est solution particulière de l'équation de récurrence affine. L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence affine est alors constitué des suites de la forme, avec. On utilise alors les conditions initiales pour trouver l'expression de u n en trouvant et:. Finalement:. Suite récurrente linéaire d ordre 2 exercices interactifs. donc. Solution de la question 2
Le discriminant de P vaut donc P admet deux racines complexes conjuguées et, de même module et d'arguments respectifs et. On a P (1) ≠ 0 donc la suite constante est solution particulière de l'équation de récurrence affine.
On a alors pour, racines du polynôme. Par conséquent,
On a de plus pour. Les trois nombres sont racines du polynôme. Par conséquent,
La suite vérifie aussi cette relation, puisque. 2. On pourrait effectuer les calculs ci-dessus de façon générique en considérant comme quatre indéterminées polynomiales, mais on peut aussi, plus élémentairement, vérifier « à la main » les relations trouvées:
3. D'après ce qui précède, la suite définie par vérifie la même récurrence d'ordre 2 que la suite, et les quatre suites vérifient une même récurrence linéaire d'ordre 3. Exercice 3 [ modifier | modifier le wikicode]
On suppose que et. Montrer qu'il existe des constantes, et telles que (pour tout). D'après les hypothèses, avec et. On peut de plus supposer car le cas d'une suite géométrique est immédiat. donc. En choisissant et, il reste:. Suite récurrente linéaire d'ordre 2, exercice de algèbre - 730229. Mais et sont solutions de. Par conséquent, et il reste en fait seulement:. Exercice 4 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit une suite numérique. On pose et. On suppose:.