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samedi 10 mars 2018, par
Méthode
Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d'avoir pris connaissance de celle-ci: Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire. On considère une variable aléatoire discrète $X$ dont on connaît la loi de probabilité. L'espérance de $X$, notée $E(X)$ est la moyenne des valeurs prises par $X$, pondéré par les probabilités associées. Autrement dit, si la loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant:
alors $E(X)=x_1\times P(X=x_1)+x_2\times P(X=x_2)+... Lois de probabilités usuelles en Term ES - Cours, exercices et vidéos maths. +x_n\times P(X=x_n)$. Cette formule s'écrit sous forme plus rigoureuse:
$E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i\times P(X=x_i)$
Important: l'espérance de $X$ est la valeur que l'on peut espérer obtenir (pour $X$) en moyenne, sur un grand nombre d'expériences. Cette interprétation de l'espérance est une conséquence de la loi des grands nombres. Remarques:
lorsque $X$ suit une loi de probabilité "connue" (comme la loi binomiale par exemple), on dispose de formules.
Probabilité Termes De Confort
Il peut être intéressant de retenir certaines valeurs usuelles. b. Loi normale
Soit μ \mu un nombre réel et σ \sigma un nombre réel strictement positif. La variable aléatoire X X suit une loi normale, notée ( μ; σ 2) \mathcal (\mu\;\sigma^2) si la variable aléatoire Y Y définie par Y = X − μ σ 2 Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma^2} suit une loi normale centrée réduite N ( 0; 1) \mathcal N(0\;1)
Soit X X une variable aléatoire suivant une loi normale N ( μ; σ 2) \mathcal N(\mu\;\sigma^2). Alors l'espérence mathématique de X X est égale à μ \mu et la variance de X X est égale à σ 2 \sigma^2. On rappelle que la variance permet de mesurer la dispersion des valeurs autour de l'espérence. On donne dans le graphique ci-dessus la représentation graphique pour une loi normale centrée réduite en vert, et en rouge, une loi normale quelconque où l'on peut changer les différentes valeurs de μ \mu et σ \sigma en faisant varier les curseurs. Probabilité termes de confort. On peut alors remarquer que plus la variance est élevée, plus les courbres sont "applaties".
Probabilité Termes De Confort Et De Qualité
Calculer $E(X)$ puis interpréter le résultat obtenu. Voir la solution Il peut être utile de relire la méthode suivante: Justifier qu'une loi est binomiale et donner ses paramètres. L'expérience consistant à jeter un dé à 6 face comporte 2 issues:
obtenir 6 (succès) avec une probabilité de $\frac{1}{6}$. ne pas obtenir 6 (échec) avec une probabilité de $\frac{5}{6}$. On répète cette expérience à l'identique et de façon indépendante 4 fois. Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=\frac{1}{6}$. Il en résulte que $E(X)=4\times \frac{1}{6}=\frac{2}{3}\approx 0, 67$. [DM] Term. ES > Exercice de Probabilités. - Forum mathématiques terminale Probabilité : Conditionnement - Indépendance - 280300 - 280300. En moyenne, sur un grand nombre d'expériences (consistant à jeter 4 fois le dé de suite), on peut espérer obtenir en moyenne environ 0, 67 fois le nombre 6 par expérience. Ce jeu est-il équitable? Combien peut espérer gagner l'organisateur du jeu après 50 parties? Quel devrait être le prix d'une partie pour que le jeu devienne équitable? Voir la solution
1. On note:
$B_1$ l'évènement "le joueur tire une boule bleue au 1er tirage".
Loi normale
a. La loi normale centrée réduite
Une variable aléatoire X X de densité f f sur R \mathbb R suit une loi normale centrée réduite si
f ( x) = 1 2 π e − x 2 2 f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e^{\frac{-x^2}{2}}
On note cette loi: N ( 0, 1) \mathcal N(0, 1)
Soit C f \mathcal C_f sa représentation graphique. On remarque que C f \mathcal C_f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Remarque:
L'espérence mathématique d'une loi normale centrée réduite est 0 0 et l'écart type est 1 1. Probabilité termes de confort et de qualité. D'après la définition d'une densité, on a:
P ( X ≤ a) = ∫ − ∞ a f ( x) d x P(X\le a)=\int_{-\infty}^a f(x)\ dx
La densité de la loi normale étant trop complexe à calculer, on utilisera la propriété suivante:
Soit X X une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. P ( X < 0) = P ( X ≥ 0) = 1 2 P ( X ≥ a) = 1 − P ( X > a) P ( X ≥ a) = 0, 5 − P ( 0 ≤ X ≤ a) = P ( X ≤ − a) P ( − a ≤ X ≤ a) = 1 − 2 P ( X ≤ a) \begin{array}{ccc}
P(X<0)&=&P(X\ge 0)&=&\dfrac{1}{2}\\
P(X\ge a)&=&1-P(X>a)\\
P(X\ge a)&=&0{, }5-P(0\le X\le a)&=&P(X\le -a)\\
P(-a\le X\le a)&=&1-2P(X\le a)\\
Les probabilités pour les lois normales seront calculées à l'aide de la calculatrice.
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