\mathbf 3. \left\{
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&x^2y\\[3mm]
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&xy^2. Dérivées partielles d'ordre supérieur
Enoncé Calculer les dérivées partielles à l'ordre 2 des fonctions suivantes:
$f(x, y)=x^2(x+y)$. $f(x, y)=e^{xy}. $
Enoncé Pour $(x, y)\neq (0, 0)$, on pose $$f(x, y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}. $$
$f$ admet-elle un prolongement continu à $\mathbb R^2$? $f$ admet-elle un prolongement $C^1$ à $\mathbb R^2$? $f$ admet-elle un prolongement $C^2$ à $\mathbb R^2$? Enoncé Soit $f$ une application de classe $C^1$ de $\mtr^2$ dans $\mtr$ et $r\in\mtr$. On dit que $f$ est homogène de degré $r$ si
$$\forall (x, y)\in\mtr^2, \ \forall t>0, \ f(tx, ty)=t^rf(x, y). $$
Montrer que si $f$ est homogène de degré $r$, alors ses dérivées partielles sont homogènes de degré $r-1$. Montrer que $f$ est homogène de degré $r$ si et seulement si:
$$\forall (x, y)\in\mtr^2, \ x\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=rf(x, y).
Derives Partielles Exercices Corrigés Du
$$
Justifier que l'on peut prolonger $f$ en une fonction continue sur $\mathbb R^2$. Étudier l'existence de dérivées partielles en $(0, 0)$ pour ce prolongement. Enoncé Pour les fonctions suivantes, démontrer qu'elles admettent une dérivée suivant tout vecteur en $(0, 0)$ sans pour autant y être continue. $\displaystyle f(x, y)=\left\{
\begin{array}{ll}
y^2\ln |x|&\textrm{ si}x\neq 0\\
0&\textrm{ sinon. } \end{array}
\right. $
$\displaystyle g(x, y)=\left\{
\frac{x^2y}{x^4+y^2}&\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\\
Fonction de classe $C^1$
Enoncé Démontrer que les applications $f:\mtr^2\to\mtr$ suivantes sont de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$. $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^2y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$;
$\displaystyle f(x, y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$. Enoncé Les fonctions suivantes, définies sur $\mathbb R^2$, sont-elles de classe $C^1$? $\displaystyle f(x, y)=x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$;
$\displaystyle f(x, y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$;
$\displaystyle f(x, y)=e^{-\frac 1{x^2+y^2}}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$.
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Sujet: Examen corrigé Equations aux dérivées partielles 1, univ Saida, 2019 (Lu 1180 fois)
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sabrina
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Examen corrigé Equations aux dérivées partielles 1, univ Saida, 2019
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Examen corrigé Equations aux dérivées partielles 1, univ Saida, 2019
Dérivées partielles, Dérivées suivant un vecteur
Enoncé Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes, et les calculer. $f(x, y)=e^x\cos y. $
$f(x, y)=(x^2+y^2)\cos(xy). $
$f(x, y)=\sqrt{1+x^2y^2}. $
Enoncé Soit $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. On définit $g:\mathbb R\to\mathbb R$ par $g(t)=f(2+2t, t^2)$. Démontrer que $g$ est $C^1$
et calculer $g'(t)$ en fonction des dérivées partielles de $f$. On définit $h:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par $h(u, v)=f(uv, u^2+v^2)$. Démontrer que $h$ est
$C^1$ et exprimer les dérivées partielles $\frac{\partial h}{\partial u}$ et $\frac{\partial h}{\partial v}$ en
fonction des dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$. Enoncé Soit $f$ une application de classe $C^1$ sur $\mtr^2$. Calculer les dérivées (éventuellement partielles) des fonctions suivantes:
$g(x, y)=f(y, x)$. $g(x)=f(x, x)$. $g(x, y)=f(y, f(x, x))$. $g(x)=f(x, f(x, x))$. Enoncé On définit $f:\mathbb R^2\backslash\{(0, 0)\}\to\mathbb R$ par
$$f(x, y)=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/4}}.
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