C'est donc le spectre d'un signal périodique de période T. Pour simuler un spectre continu, T devra être choisi très grand par rapport à la période d'échantillonnage. Le spectre obtenu est périodique, de périodicité fe=N/T, la fréquence d'échantillonnage. 2. Signal à support borné
2. a. Exemple: gaussienne
On choisit T tel que u(t)=0 pour |t|>T/2. Considérons par exemple une gaussienne centrée en t=0:
dont la transformée de Fourier est
En choisissant par exemple T=10a, on a pour t>T/2
Chargement des modules et définition du signal:
import math
import numpy as np
from import *
from import fft
a=1. 0
def signal(t):
return (-t**2/a**2)
La fonction suivante trace le spectre (module de la TFD) pour une durée T et une fréquence d'échantillonnage fe:
def tracerSpectre(fonction, T, fe):
t = (start=-0. 5*T, stop=0. 5*T, step=1. 0/fe)
echantillons = ()
for k in range():
echantillons[k] = fonction(t[k])
N =
tfd = fft(echantillons)/N
spectre = T*np. absolute(tfd)
freq = (N)
for k in range(N):
freq[k] = k*1.
cos ( 2 * np. pi / T1 * t) + np. sin ( 2 * np. pi / T2 * t)
# affichage du signal
plt. plot ( t, signal)
# calcul de la transformee de Fourier et des frequences
fourier = np. fft ( signal)
n = signal. size
freq = np. fftfreq ( n, d = dt)
# affichage de la transformee de Fourier
plt. plot ( freq, fourier. real, label = "real")
plt. imag, label = "imag")
plt. legend ()
Fonction fftshift ¶
>>> n = 8
>>> dt = 0. 1
>>> freq = np. fftfreq ( n, d = dt)
>>> freq
array([ 0., 1. 25, 2. 5, 3. 75, -5., -3. 75, -2. 5, -1. 25])
>>> f = np. fftshift ( freq)
>>> f
array([-5., -3. 25, 0., 1. 75])
>>> inv_f = np. ifftshift ( f)
>>> inv_f
Lorsqu'on désire calculer la transformée de Fourier d'une fonction \(x(t)\) à l'aide d'un ordinateur, ce dernier ne travaille que sur des valeurs discrètes, on est amené à:
discrétiser la fonction temporelle,
tronquer la fonction temporelle,
discrétiser la fonction fréquentielle.
Cette traduction peut être de x n à X k. Il convertit les données spatiales ou temporelles en données du domaine fréquentiel. ():
Il peut effectuer une transformation discrète de Fourier (DFT) dans le domaine complexe. La séquence est automatiquement complétée avec zéro vers la droite car la FFT radix-2 nécessite le nombre de points d'échantillonnage comme une puissance de 2. Pour les séquences courtes, utilisez cette méthode avec des arguments par défaut uniquement car avec la taille de la séquence, la complexité des expressions augmente. Paramètres:
-> seq: séquence [itérable] sur laquelle la DFT doit être appliquée. -> dps: [Integer] nombre de chiffres décimaux pour la précision. Retour:
Transformée de Fourier Rapide
Exemple 1:
from sympy import fft
seq = [ 15, 21, 13, 44]
transform = fft(seq)
print (transform)
Production:
FFT: [93, 2 - 23 * I, -37, 2 + 23 * I]
Exemple 2:
decimal_point = 4
transform = fft(seq, decimal_point)
print ( "FFT: ", transform)
FFT: [93, 2, 0 - 23, 0 * I, -37, 2, 0 + 23, 0 * I]
Article written by Kirti_Mangal and translated by Acervo Lima from Python | Fast Fourier Transformation.
absolute(tfd)
freq = (N)
for k in range(N):
freq[k] = k*1. 0/T
plot(freq, spectre, 'r. ') xlabel('f')
ylabel('S')
axis([0, fe, 0, ()])
grid()
return tfd
Voyons le spectre de la gaussienne obtenue avec la TFD superposée au spectre théorique:
T=20. 0
fe=5. 0
figure(figsize=(10, 4))
tracerSpectre(signal, T, fe)
def fourierSignal(f):
return ()*(**2*f**2)
f = (start=-fe/2, stop=fe/2, step=fe/100)
spectre =np. absolute(fourierSignal(f))
plot(f, spectre, 'b')
axis([-fe/2, fe, 0, ()])
L'approximation de la TF pour une fréquence négative est donnée par:
S a ( - f n) ≃ T exp ( - j π n) S N - n La seconde moitié de la TFD ( f ∈ f e / 2, f e) correspond donc aux fréquences négatives. Lorsque les valeurs du signal sont réelles, il s'agit de l'image de la première moitié (le spectre est une fonction paire). Dans ce cas, l'usage est de tracer seulement la première moitié f ∈ 0, f e / 2. Pour augmenter la résolution du spectre, il faut augmenter T. Il est intéressant de maintenir constante la fréquence d'échantillonnage:
T=100.
get_window ( 'hann', 32))
freq_lim = 11
Sxx_red = Sxx [ np. where ( f < freq_lim)]
f_red = f [ np. where ( f < freq_lim)]
# Affichage
# Signal d'origine
plt. plot ( te, x)
plt. ylabel ( 'accélération (m/s²)')
plt. title ( 'Signal')
plt. plot ( te, [ 0] * len ( x))
plt. title ( 'Spectrogramme')
Attention Ici vous remarquerez le paramètre t_window('hann', 32) qui a été rajouté lors du calcul du spectrogramme. Il permet de définir la fenêtre d'observation du signal, le chiffre 32 désigne ici la largeur (en nombre d'échantillons) d'observation pour le calcul de chaque segment du spectrogramme.
On note pour la suite X(f) la FFT du signal x_e(t). Il existe plusieurs implantations dans Python de la FFT: pyFFTW Ici nous allons utiliser pour calculer les transformées de Fourier. FFT d'un sinus ¶ Création du signal et échantillonnage ¶ import numpy as np
import as plt
def x ( t):
# Calcul du signal x(t) = sin(2*pi*t)
return np. sin ( 2 * np. pi * t)
# Échantillonnage du signal
Durée = 1 # Durée du signal en secondes
Te = 0. 1 # Période d'échantillonnage en seconde
N = int ( Durée / Te) + 1 # Nombre de points du signal échantillonné
te = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons
t = np. linspace ( 0, Durée, 2000) # Temps pour le signal non échantillonné
x_e = x ( te) # Calcul de l'échantillonnage
# Tracé du signal
plt. scatter ( te, x_e, color = 'orange', label = "Signal échantillonné")
plt. plot ( t, x ( t), '--', label = "Signal réel")
plt. grid ()
plt. xlabel ( r "$t$ (s)")
plt. ylabel ( r "$x(t)$")
plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$)")
plt. legend ()
plt.
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La surface de votre pièce à ventiler est aussi un élément essentiel. Pour une décoration optimale, nous vous invitons à suivre ses recommandations pour le respect du diamètre du ventilateur en fonction de la surface de la pièce à ventiler:
Moins de 15 m2: 75 à 107 cm 15 m2 à 20 m2: 108 à 132 cm 20 à 45 m2: 132 à 168 cm 45 à 80 m2: 150 à 223 cm 80 à 100 m2: 200 à 223 cm voir idéalement plusieurs ventilateurs
Ces chiffres prennent en compte la légère suroptimisation du diamètre afin d'utiliser le moins possible les plus fortes vitesses du ventilateur plafond design.