Calcul de l'intégrale de Gauss [ modifier | modifier le code]
Un théorème de Liouville montre que l'intégrande de l'intégrale de Gauss n'admet aucune primitive s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc. ). Cela oblige pour calculer cette intégrale à recourir à des méthodes plus ou moins « détournées », dont la plus classique et directe est celle qui utilise des intégrales doubles; d'autres méthodes classiques existent dont une élémentaire, mais nettement plus longue, qui fait appel aux intégrales de Wallis et une autre qui utilise une fonction définie par une intégrale. Cas particulier α = 1 [ modifier | modifier le code]
La méthode classique de calcul utilise une intégrale double qu'on exprime en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires [ 1]. Calculatrice en ligne - primitive(exp(x)) - Solumaths. Une variante utilise une fonction définie par une intégrale [ 2]. Cette seconde méthode n'utilise que des résultats sur les intégrales simples (à une seule variable) usuelles (sur un intervalle fermé borné) et est donc plus élémentaire.
Calcul De L Integral De Exp X 2 Integral
Soient trois réels x 1, x 2, h tels que x 1 < x 2 et h > 0, puis dans le plan complexe le rectangle de sommets
(de côtés parallèles aux axes). D'après le théorème intégral de Cauchy, l'intégrale de f sur le bord orienté du rectangle est nulle:
Or on a les égalités suivantes:
et
(on paramétrise le segment [ C, D] par où). Ainsi:
L'intégrale de f sur [ B, C] (resp. [ D, A]) tend vers 0 quand x 2 tend vers +∞ (resp. Calcul d'Intégrale d'une Fonction - Solveur - Calculatrice en Ligne. x 1 tend vers –∞) (voir plus loin). D'où:
Le choix dans la relation précédente (re)donne l'expression cherchée de F (ξ). Reste à montrer que l'intégrale de f sur [ B, C] tend vers 0 quand x 2 tend vers +∞:
(on paramétrise le segment [ B, C] par, avec). D'où la majoration:
qui permet de conclure (l'intégrale au second membre ne dépend pas de x 2). De même pour l'intégrale sur [ D, A]. Notes et références [ modifier | modifier le code]
Bibliographie [ modifier | modifier le code]
(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [ détail de l'édition] ( lire en ligne), chap.
Calcul De L Intégrale De Exp X 24
Par contre l'astuce est vraiment astucieuse. Merci encore. Ce topic
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En clair, je cherche une autre méthode que la résolution avec les coordonnées polaires... MA: --: Cordialement, : Bruno:
Post by Michel Actis: >>> Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini: >>> à +l'infini de f(x) = exp(-ax^2)? MA Si on passe de integrale(-inf, +inf, exp(-x^2)) (I) à integrale(-inf, +inf, exp(-i*x^2)) Après, on arrive aux intégrales de Fresnel: integrale(0, +inf, sin(x)/sqrt(x)) ou integrale(0, +inf, sin(x^2)) Or il me semble (souvenir d'études *à confirmer*) qu'on peut calculer ces intégrales sans connaître la valeur de (I). Si quelqu'un à une idée. Calcul de l intégrale de exp x 24. Post by cwpbl Post by Michel Actis: >>> Comment calculer sans jacobien l'intégrale de -l'infini: >>> à +l'infini de f(x) = exp(-ax^2)? MA Si on passe de integrale(-inf, +inf, exp(-x^2)) (I) à integrale(-inf, +inf, exp(-i*x^2)) integrale(0, +inf, sin(x)/sqrt(x)) ou integrale(0, +inf, sin(x^2)) Or il me semble (souvenir d'études *à confirmer*) qu'on peut calculer ces intégrales sans connaître la valeur de (I). Si quelqu'un à une idée.
Plusieurs réponses possibles. Merci de préciser une localité. - F - Loire-Atlantique - La Baule: La Baule-Escoublac
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