Lors de l'étude d'une suite définie par une relation de récurrence, il est parfois nécessaire de passer par une suite intermédiaire pour trouver le terme générale. Cette suite sera toujours donnée dans l'exercice et il n'y aura jamais besoin de la trouver seule. L'idée est que vous aurez toujours à prouver que cette suite intermédiaire est soit arithmétique soit géométrique dans les exercices que vous aurez. Bien sûr, les exercices ci-dessous peuvent être formulés de manières différentes d'un sujet à l'autre. Cependant, les méthodes à appliquer sont toujours les mêmes. Les derniers modèles ont pour but d'expliquer comment prouver qu'une suite n'est pas arithmétique ou géométrique. Utilisation de suites intermédiaires (cas arithmétique)
Énoncé: On considère la suite \(u\) définie par:
\[
\left\{
\begin{aligned}
& u_{n+1} = \sqrt{u_n^2+5}\ \ \ \ \forall n\in \mathbb{N}\\
& u_0 = 3
\end{aligned}
\right. Comment prouver qu une suite est arithmétiques. \]
On considère la suite \(v\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n=\left(u_n\right)^2\).
- Les suites - Méthdologie - Première - Tout pour les Maths
- Comment déterminez-vous si une suite est arithmétique-géométrique ou ni l’une ni l’autre ? – Plastgrandouest
- Montrer qu'une suite est arithmétique par 2 méthodes - Première S ES STI - YouTube
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Les Suites - Méthdologie - Première - Tout Pour Les Maths
18-12-08 à 20:53 En effet, j'ai fait une faute de frappe dans mon tableau! pardon! je trouve
Posté par Bourricot re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 18-12-08 à 20:56 Si (U n) était arithmétique, on aurait:
U 1 - U 0 = U 2 - U 1 = la raison de la suite
Si (U n) était géométrique, on aurait:
U 1 / U 0 = U 2 / U 1 = la raison de la suite
regarde donc si c'est le cas! Comment prouver qu une suite est arithmétique. Posté par thecraziestou re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 18-12-08 à 21:02 Voila ce qui me manquait ^^
Laissez vous présentez mes remerciements distingués, accompagnés da la gratitude que je porte à votre égard! (héhé, premiere s mais litéraire dans l'ame ^^... ou pas)
Posté par Bourricot re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 18-12-08 à 21:10 Ah! Laissez moi vous présente r (z) mes remerciements distingués, accompagnés d e (a) la gratitude que je porte à votre égard! mais li t téraire dans l' â (a)me
A part ces petites remarques, qu'as tu trouvé pour la première question?
Quelle est la formule de la suite infinie? Une série géométrique infinie est la somme d'une suite géométrique infinie. Cette série n'aurait pas de terme définitif. La forme générale de la série géométrique infinie est a1 + a1r + a1r2 + a1r3 +…, où a1 est le premier terme et r est le rapport commun.
Comment Déterminez-Vous Si Une Suite Est Arithmétique-Géométrique Ou Ni L&Rsquo;Une Ni L&Rsquo;Autre ? – Plastgrandouest
18-12-08 à 23:05 parce que U n+2 = U n+1 + (n+1) + 1
Posté par thecraziestou re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 18-12-08 à 23:44 Merci bien, je suis lancé ça y est, plus rien ne m'arrête!! ( à bientot quand meme)
lol Ciao
Posté par Bourricot re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 18-12-08 à 23:45 Je t'en prie! Comment déterminez-vous si une suite est arithmétique-géométrique ou ni l’une ni l’autre ? – Plastgrandouest. Posté par thecraziestou re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 19-12-08 à 17:56 Bon bein j'ai été arrêté ^^
Rappels:
U n+1 =U n +n+1
U o =-1
V n =U n+1 -U n
Je dois exprimer la some V 0 +V 1 +... +V n en fonction de U n et en déduire l'expressoin de U n en fonction de n. J'ai mis ça, mais je sais pas si quand on veut en fonction de U n, on peut mettre aussi des U n+1. La somme = (n+1) x (1 + V n) / 2
= (n+1) x (1 + U n+1 -U n) / 2
Posté par Bourricot re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 19-12-08 à 18:21 Si mes souvenirs sont bons (V n) est arithmétique 1er terme V 0 = 1 et de raison r = 1
La somme des n premiers termes de (V n) = formule du cours
Or
V 0 = U 1 - U 0
V 1 = U 2 - U 1
V 2 = U 3 - U 2......
V n-1 = U n - U n-1
V n = U n+1 - U n
Donc en additionnant les n+1 égalités ci-dessus, on arrive à
à gauche = la somme demandée plus haut
à droite, il reste quoi quand on a enlevé U 1 - U 1 et U 2 - U 2 etc....
Posté par Bourricot re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique.
Montrer qu'une suite est arithmétique par 2 méthodes - Première S ES STI - YouTube
Montrer Qu'Une Suite Est Arithmétique Par 2 Méthodes - Première S Es Sti - Youtube
22-12-08 à 13:50 bonjour,
tu cherches U n sachant que
V n-1 =U n -U 0
U 0 =-1
U n = V n-1 -1
U n = (n+1)n/2 -1=(n 2 +n-2)/2
vérification
n U_n
0 -1
1 0
2 2
3 5
4 9
5 14
6 20
7 27
8 35
9 44
10 54
11 65
12 77
Posté par thecraziestou re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 22-12-08 à 18:22 Je comprend pas comment tu trouves V n-1 = (n+1)n/2
J'ai V n = (n+1) x (n+2)/2
V n-1 = (n-1+1) x (n-1+1)/2
V n-1 = (2n+1)/2.. Mais je vois pas...
Posté par Labo re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 22-12-08 à 18:27 V 0 =1
V n-1 =n
somme de V 0 +V n-1 =1+n
nombre de termes =n
V n-1 = (n+1)n/2
Posté par thecraziestou re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 22-12-08 à 19:08 Si on a n termes, ça donne pas:
V n-1 = n x (n+1)/2?? Les suites - Méthdologie - Première - Tout pour les Maths. Posté par Labo re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 22-12-08 à 20:10 a*b/2=b*a/2 non la multiplication est commutative...
Posté par thecraziestou re: Prouver qu'une suite est arithmétique ou géométrique. 22-12-08 à 20:41 Mouais...
Prouver que la suite \(v\) est géométrique puis en déduire le terme général de la suite \(u\). Explications de la résolution: La méthode est exactement la même que pour la situation précédente. La seule différence est que la suite intermédiaire est géométrique. On commence par prouver que la suite \(v\) est géométrique. Pour cela, il suffit d'étudier \(v_{n+1}\) pour tout entier naturel \(n\). Vous commencez par utiliser la définition de \(v\) (ici on obtiendra que \(v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{5}{7}\)). Attention: certains livres ou sites internet proposent d'étudier \(\frac{v_n+1}{v_n}\). Ceci est une erreur très grave de raisonnement! En effet, il faut prouver que \(v_n\) est toujours non nul pour écrire cette fraction, ce qui n'est généralement jamais fait dans les livres ou sites préconisant cette méthode. Montrer qu'une suite est arithmétique par 2 méthodes - Première S ES STI - YouTube. De plus, cela rallonge inutilement la rédaction de la réponse. Il ne reste alors plus qu'à simplifier le plus possible pour faire apparaître \(u_n+\frac{5}{7}\), c'est-à-dire \(v_n\) (il y a un moment dans les calculs où il peut être nécessaire de remarquer des factorisations).
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