2- a) Montrer que ∀(x, y)∈IR²: \(M(x)×M(y) = M(x+y+xy)\) b) En déduire que: \(E\) est une partie stable de \((M_{2}(IR), ×)\) et que la loi « × » est commutative dans \(E\). c) Montrer que: la loi « × » est distributive par rapport à la loi \(T\) dans \(E\). d) Vérifier que: M(-1) est l'élément neutre dans \((E, T)\) et que I est l'élément neutre dans \((E, ×)\) 3- a) Vérifier que ∀ x∈IR-{-1}: \(M(x)×M(\frac{-x}{1+x})=I\) b) Montrer que \((E, T, ×)\) est un corps commutatif. Exercice 4: (6. 5 points)
Première partie:
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l'intervalle [0, +∞[ par f(0)=0 et pour x>0: \(f(x)=x(1+ln²x)\) Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le plan rapporté à un repère orthonormé \((O, i, j)\). 1- Calculer: \(\lim _{x➝+∞} f(x)\) et \(\lim _{x➝+∞} \frac{f(x)}{x}\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2-a)Montrer que: la fonction \(f\) est continue à droite en \(0. Exercice suite numérique bac pro gestion. \) b) Calculer \(\lim _{x➝0^{+}} \frac{f(x)}{x}\) puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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Exercice Suite Numérique Bac Pro Technicien
2- Soit \(d\) un diviseur commun de \(x\) et de 2015. a) Montrer que \(d\) divise 1436. Suites numériques - Cours maths Bac Pro. b) En déduire que \(x\) et 2015 sont premiers entre eux. 3-a) En utilisant le théorème de FERMAT, Montrer que: \(x^{1440}≡1[5]\), \(x^{1440}≡1[13]\) et \(x^{1440}≡1[31]\) (remarquer que: 2015=5×13×31) b) Montrer que: \(x^{1440}≡1[65]\) en déduire que: \(x^{1440}≡1[2015]\) 4-Montrer que: \(x≡1051[2015]\)
Exercice 3: (4 points)
\(M_{2}IR), +, ×)\) est un anneau unitaire dont l'unité est: \(I=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\) et que (IR, +) est un groupe commutatif. Pour tout nombre réel x on pose: \(M(x)=\left(\begin{array}{cc} 1-x & x \\ -2 x & 1+2 x \end{array}\right)\) et on considère l'ensemble E={M(x) / x∈IR} On munit \(E\) de la loi de composition interne \(T\) définie par ∀(x, y)∈IR²: \(M(x) T M(y)=M(x+y+1)\) 1- Soit \(φ\) l'application de \(IR\) dans \(E\) définie par ∀(x∈IR: \(φ(x)=M(x-1)\) a)Montrer que: \(φ\) est un homomorphisme de \((IR, +)\) vers \((E, T)\) b) Montrer que: \((E, T)\) est un groupe commutatif.
Expression du terme de rang n d'une suite géométrique
En classe de première a été définie une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q par l'expression de un+1 en fonction de un: un+1 = q × un
On considère une suite géométrique (un) de raison q. Si le premier terme est noté u0 alors le terme de rang n est un = u0 qn
Si le premier terme est noté u1 alors le terme de rang n est un = u1 qn-1
Exemples:
(un) est une suite géométrique de premier terme u1 = 3 et de raison q = 1, 15
Le 15e terme est u15 = u1 q15-1 = 3× (1, 1)14 = 11, 39
(vn) est une suite géométrique de premier terme u0 = - 20 et de raison q = 0, 9
Le 15e terme est u14 = u0 q15 = -20 x 0, 915 = - 4, 12...
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