L e
jeu de Marienbad ANALYSE
C haque
joueur, à tour
de
rôle, prend un nombre
quelconque d'allumettes mais dans une SEULE rangée. Celui qui est contraint de prendre la dernière a perdu. JEU
de Marienbad généralisé ICI
COMMENT GAGNER? L'algorithme est fondé sur un codage des situations, l'aide
de l'criture en base deux
(pour le codage en base deux cliquer
ICI). Prenons l'exemple correspondant une premire ligne de 1 allumette,
une deuxime de 2,
une troisième de 2 et enfin une quatrième ligne de 5
allumettes. Comment gagner sur le jeu de marienbad youtube. La suite des nombres 1, 2, 2, 5 est code en base deux 1, 10, 10, 101. Plaçons les nombres verticalement les uns en dessous des autres,
alignés en partant de la droite:
1
10
101
--------
ipp Notons la
parit du nombre de 1 dans chaque colonne. Ici cela donne ipp
- i pour impair: il y a un seul 1 à gauche,
- p pour pair: la deuxime colonne a deux 1 et
- p pour la troisième colonne qui a deux
1. On dit quelquefois que l'on ajoute sans retenue en
binaire, dans ce cas ipp donne 100.
Démonstration [ modifier | modifier le code]
La démonstration de la stratégie optimale a été faite par Charles Bouton [ 1] dans les annales de mathématiques en 1901. Théorème. Dans un jeu de Nim, le joueur jouant en premier a une stratégie gagnante si et seulement si la somme nim des piles est différente de zéro. Sinon, le second joueur a une stratégie gagnante. Démonstration: La loi de composition XOR [ 2] (⊕) est associative et commutative, et vérifie également: x ⊕ x = 0 (en termes mathématiques l'ensemble des nombres naturels munis de ⊕ est un groupe abélien dont chaque élément non nul est d'ordre 2). Soit x 1,..., x n les tailles de chaque pile avant un coup, et y 1,..., y n les tailles de ces mêmes piles après le coup. Soit s = x 1 ⊕... Les 10 meilleures façons de gagner au Parions Sport 80 euros par jour - Abidoo. ⊕ x n et t = y 1 ⊕... ⊕ y n. Si le coup a été fait dans la pile k, nous avons: x i = y i pour tout i ≠ k, et x k > y k. En appliquant les propriétés de ⊕ il vient:
t = 0 ⊕ t
= s ⊕ s ⊕ t
= s ⊕ ( x 1 ⊕... ⊕ x n) ⊕ ( y 1 ⊕... ⊕ y n)
= s ⊕ ( x 1 ⊕ y 1) ⊕... ⊕ ( x n ⊕ y n)
= s ⊕ 0 ⊕... ⊕ 0 ⊕ ( x k ⊕ y k) ⊕ 0 ⊕... ⊕ 0
= s ⊕ x k ⊕ y k
(*) t = s ⊕ x k ⊕ y k.
La démonstration se fait par récurrence à partir des deux lemmes suivants.
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Le jeu de Marienbad est un jeu de Nim classique qui a été rendu célèbre par le film d'Alain Resnais L'année dernière à Marienbad (1961). Le jeu est constitué de plusieurs tas (ici ce sont des rangées). Chaque joueur choisit le tas de son choix, et dans ce tas, prend le nombre d'allumettes de son choix. Comment gagner sur le jeu de marienbad francais. Dans la version du film, il y a quatre rangées, avec respectivement 1, 3, 5, 7 allumettes. À chaque tour, le joueur prend le nombre d'allumettes qu'il veut, au moins une et dans une même rangée. Le joueur qui ramasse la dernière allumette a perdu. variante [ modifier | modifier le wikicode]
Dans une variante, le gagnant est celui qui prend la dernière allumette. [ modifier | modifier le wikicode]
La position de départ se fait avec 1, 3, 5 et 7 allumettes. On écrit ces nombres dans le système binaire:
1 = 0 0 1 en binaire
3 = 0 1 1
5 = 1 0 1
7 = 1 1 1
On effectue les sommes des chiffres binaires colonne par colonne en base dix, on trouve:
S = 2 2 4
cas où le gagnant est celui qui prend la dernière allumette.
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