Ainsi h peut être étendu à une fonction bornée entière qui par le théorème de Liouville implique qu'elle est constante. Si f est inférieur ou égal à un scalaire multiplié par son entrée, alors il est linéaire
Supposons que f soit entier et | f ( z)| est inférieur ou égal à M | z |, pour M un nombre réel positif. On peut appliquer la formule intégrale de Cauchy; nous avons ça
où I est la valeur de l'intégrale restante. Cela montre que f′ est borné et entier, il doit donc être constant, par le théorème de Liouville. L'intégration montre alors que f est affine et ensuite, en se référant à l'inégalité d'origine, on a que le terme constant est nul. Les fonctions elliptiques non constantes ne peuvent pas être définies sur ℂ
Le théorème peut également être utilisé pour déduire que le domaine d'une fonction elliptique non constante f ne peut pas être Supposons qu'il l'était. Alors, si a et b sont deux périodes de f telles que une / b n'est pas réel, considérons le parallélogramme P dont les sommets sont 0, a, b et a + b. Alors l'image de f est égale à f ( P).
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Theoreme De Liouville
En mathématiques, et plus précisément en analyse et en algèbre différentielle (en), le théorème de Liouville, formulé par Joseph Liouville dans une série de travaux concernant les fonctions élémentaires entre 1833 et 1841, et généralisé sous sa forme actuelle par Maxwell Rosenlicht en 1968, donne des conditions pour qu'une primitive puisse être exprimée comme combinaison de fonctions élémentaires, et montre en particulier que de nombreuses primitives de fonctions usuelles, telle que la fonction d'erreur, qui est une primitive de e − x 2, ne peuvent s'exprimer ainsi. Définitions
Un corps différentiel est un corps commutatif K, muni d'une dérivation, c'est-à-dire d'une application
de K dans K, additive (telle que), et vérifiant la « règle du produit »:. Si K est un corps différentiel, le noyau de, à savoir
est appelé le corps des constantes, et noté Con( K); c'est un sous-corps de K.
Étant donnés deux corps différentiels F et G, on dit que G est une extension logarithmique de F si G est une extension transcendante simple de F, c'est-à-dire que G = F ( t) pour un élément transcendant t, et s'il existe un s de F tel que.
Théorème De Liouville C
Puisque f est continue et P est compact, f ( P) est également compact et, par conséquent, il est borné. Donc f est constante. Le fait que le domaine d'une fonction elliptique non constante f ne puisse pas être, c'est ce que Liouville a effectivement prouvé, en 1847, en utilisant la théorie des fonctions elliptiques. En fait, c'est Cauchy qui a prouvé le théorème de Liouville. Des fonctions entières ont des images denses
Si f est une fonction entière non constante, alors son image est dense dans Cela peut sembler être un résultat beaucoup plus fort que le théorème de Liouville, mais c'est en fait un corollaire facile. Si l'image de f n'est pas dense, alors il existe un nombre complexe w et un nombre réel r > 0 tels que le disque ouvert de centre w de rayon r n'a aucun élément de l'image de f. Définir
Alors g est une fonction entière bornée, puisque pour tout z,
Donc, g est constant, et donc f est constant. Sur des surfaces Riemann compactes
Toute fonction holomorphe sur une surface de Riemann compacte est nécessairement constante.
Théorème De Liouville 4
Les historiens [Qui? ] estiment cependant qu'il n'y a pas là manifestation de la loi de Stigler: Cauchy aurait pu facilement le démontrer avant Liouville mais ne l'a pas fait. Le théorème est considérablement amélioré par le petit théorème de Picard, qui énonce que toute fonction entière non constante prend tous les nombres complexes comme valeurs, à l'exception d'au plus un point. Applications
Théorème de d'Alembert-Gauss
Le théorème de d'Alembert-Gauss (ou encore théorème fondamental de l'algèbre) affirme que tout polynôme complexe non constant admet une racine. Autrement dit, le corps des nombres complexes est algébriquement clos. Ce théorème peut être démontré en utilisant des outils d'analyse, et en particulier le théorème de Liouville énoncé ci-dessus, voir l'article détaillé pour la démonstration. Étude de la sphère de Riemann
En termes de surface de Riemann, le théorème peut être généralisé de la manière suivante: si M est une surface de Riemann parabolique (le plan complexe par exemple) et si N est une surface hyperbolique (un disque ouvert par exemple), alors toute fonction holomorphe f: M → N doit être constante.
Théorème De Liouville Youtube
Cette condition a la forme d'une dérivée logarithmique; on peut donc interpréter t comme une sorte de logarithme de l'élément s de F. De façon analogue, une extension exponentielle de F est une extension transcendante simple de F telle qu'il existe un s de F vérifiant; là encore, t peut être interprété comme une sorte d' exponentielle de s. Enfin, on dit que G est une extension différentielle élémentaire de F s'il existe une chaîne finie de sous-corps allant de F à G, telle que chaque extension de la chaîne soit algébrique, logarithmique ou exponentielle. Le théorème fondamental [ modifier | modifier le code]
Théorème de Liouville-Rosenlicht — Soient F et G deux corps différentiels, ayant le même corps des constantes, et tels que G soit une extension différentielle élémentaire de F. Soit a un élément de F, y un élément de G, avec y = a. Il existe alors une suite c 1,..., c n de Con( F), une suite u 1,..., u n de F, et un élément v de F tels que
Autrement dit, les seules fonctions ayant des « primitives élémentaires » (c'est-à-dire des primitives appartenant à des extensions élémentaires de F) sont celles de la forme prescrite par le théorème.
Théorème De Liouville 3
En mathématiques, et plus précisément en analyse et en algèbre différentielle (en), le théorème de Liouville, formulé par Joseph Liouville dans une série de travaux concernant les fonctions élémentaires entre 1833 et 1841, et généralisé sous sa forme actuelle par Maxwell Rosenlicht en 1968, donne des conditions pour qu'une primitive puisse être exprimée comme combinaison de fonctions élémentaires, et montre en particulier que de nombreuses primitives de fonctions usuelles, telle que la fonction d'erreur, qui est une primitive de e − x 2, ne peuvent s'exprimer ainsi. Définitions [ modifier | modifier le code]
Un corps différentiel est un corps commutatif K, muni d'une dérivation, c'est-à-dire d'une application de K dans K, additive (telle que), et vérifiant la « règle du produit »:. Si K est un corps différentiel, le noyau de, à savoir est appelé le corps des constantes, et noté Con( K); c'est un sous-corps de K.
Étant donnés deux corps différentiels F et G, on dit que G est une extension logarithmique de F si G est une extension transcendante simple de F, c'est-à-dire que G = F ( t) pour un élément transcendant t, et s'il existe un s de F tel que.
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A cet effet, a-t-il relevé, elle prévoit la création d'un Établissement Public de type particulier, entièrement autonome, en vue d'assurer une plus grande équité dans la conduite de ses missions de recouvrement et de gestion des biens criminels ou présumés comme tels. Melv
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