La formule sommatoire de Poisson (parfois appelée resommation de Poisson) est une identité entre deux sommes infinies, la première construite avec une fonction, la seconde avec sa transformée de Fourier. Ici, f est une fonction sur la droite réelle ou plus généralement sur un espace euclidien. La formule a été découverte par Siméon Denis Poisson. Elle, et ses généralisations, sont importantes dans plusieurs domaines des mathématiques, dont la théorie des nombres, l' analyse harmonique, et la géométrie riemannienne. Formule de poisson physique quantique. L'une des façons d'interpréter la formule unidimensionnelle est d'y voir une relation entre le spectre de l' opérateur de Laplace-Beltrami sur le cercle et les longueurs des géodésiques périodiques sur cette courbe. La formule des traces de Selberg, à l'interface de tous les domaines cités plus haut et aussi de l' analyse fonctionnelle, établit une relation du même type, mais au caractère beaucoup plus profond, entre spectre du Laplacien et longueurs des géodésiques sur les surfaces à courbure constante négative (tandis que les formules de Poisson en dimension n sont reliées au Laplacien et aux géodésiques périodiques des tores, espaces de courbure nulle).
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Cette relation met en évidence le fait que ne peut être inférieur à -1, sinon son module de cisaillement serait négatif (il serait sollicité en traction dès qu'on le comprimerait! ). Formule de poisson physique en. Cas d'un stratifié (isotrope transverse) [ modifier | modifier le code]
Un coefficient secondaire de Poisson est alors défini par la relation suivante:
où et sont les modules de Young des matériaux et est le coefficient secondaire de Poisson. Cas des matériaux naturels [ modifier | modifier le code]
Le coefficient de Poisson peut être calculé à partir de l'allongement longitudinal et du rétrécissement transversal, mesurés directement. Pour les matériaux très rigides il peut être plus commode de mesurer la vitesse de propagation des ondes P et des ondes S et d'en déduire le coefficient de Poisson, grâce à la relation:. Corps simples [ modifier | modifier le code]
La plupart des corps simples à l' état solide ont un coefficient de Poisson compris entre 0, 2 et 0, 4. Sur 64 de ces corps simples [ 1], 6 seulement ont un coefficient supérieur à 0, 4 ( Si: 0, 422; Au: 0, 424; Pb: 0, 442; Mo: 0, 458; Cs: 0, 460; Tl: 0, 468), et 4 un coefficient inférieur à 0, 2 ( Ru: 0, 188; Eu: 0, 139; Be: 0, 121; U: 0, 095); aucun n'est auxétique.
Notez la notation vectorielle utilisée pour éviter l'usage de boucles. et pour les conditions initiales à l'intérieur de la grille, au potentiel nul:
V[1:N, 1:N] = V0
La matrice C, initialisée à 0, contient la répartition des charges sur le domaine de calcul. Ici, en l'occurence, je place une charge Q positive dans le premier quadrant du domaine, et une charge négative -Q dans le troisième quadrant du domaine. C = zeros([N+1, N+1])
C[N/4, N/4] = Q
C[3*N/4, 3*N/4] = -Q
Suit la boucle de relaxation dont le code est:
while ecart > EPS:
iteration += 1
Vprec = ()
V[1:-1, 1:-1]= 0. Formule sommatoire de Poisson — Wikipédia. 25*(Vprec[0:-2, 1:-1]+V[2:, 1:-1]+Vprec[1:-1, 0:-2]+V[1:-1, 2:]+C[1:-1, 1:-1])
ecart = ((V-Vprec))
La boucle de relaxation tournera tant que la précision déterminée par EPS n'est pas atteinte. La variable ecart, le critère de convergence, sera calculée dans la boucle. Notez dans la boucle le compteur d'itérations et aussi, avant et après la boucle, l'acquisition de l'heure pour déterminer le temps de calcul (fonction time()).
En sommant la série de Fourier de S, on obtient bien
Convention alternative [ modifier | modifier le code]
Si l'on utilise les conventions suivantes:
alors la formule sommatoire de Poisson se réécrit (avec t = 0 et a = 1) [ 2]:
Sur les conditions de convergence [ modifier | modifier le code]
Une façon pratique de passer outre les conditions de régularité imposées à la fonction f est de se placer dans le contexte plus général de la théorie des distributions. Coefficient de Poisson — Wikipédia. Si l'on note la distribution de Dirac alors si l'on introduit la distribution suivante:
une façon élégante de reformuler la sommation est de dire que est sa propre transformée de Fourier. Applications de la resommation de Poisson [ modifier | modifier le code]
Les exemples les plus élémentaires de cette formule permettent de déterminer des sommes simples d'entiers:,
ou bien encore:. On les convertit en effet en séries géométriques qui peuvent être sommées exactement [ 3]. De façon générale, la resommation de Poisson est utile dans la mesure où une série qui converge lentement dans l'espace direct peut être transformée en une série convergeant beaucoup plus vite dans l'espace de Fourier (si l'on prend l'exemple de fonctions gaussiennes, une loi normale de grande variance dans l'espace direct est convertie en une loi normale de variance petite dans l'espace de Fourier).
Dans le cas d'un stratifié (isotrope transverse), on définit un coefficient secondaire de Poisson défini par la relation n°2 ci-contre reliant E1 et E2. Cela vous intéressera aussi Intéressé par ce que vous venez de lire?
Fonction booléenne). Notes et références [ modifier | modifier le code]
↑ Pour que cette seconde hypothèse soit vérifiée, il suffit par exemple que f soit de classe C 2 et que f ' et f '' soient intégrables. ↑ Hervé Queffélec et Claude Zuily, Analyse pour l'agrégation, Dunod, 2013, 4 e éd. ( lire en ligne), p. 95-97. Formule de poisson physique des particules. ↑ Voir cours de Noah Snyder (en). Bibliographie [ modifier | modifier le code]
(en) Matthew R. Watkins, « D. Bump's notes on the Poisson Summation Formula » (page personnelle)
Compositions / conseils
Composition
Tissu principal
100% Polyester
Empiècement
90% Polyester, 10% Élasthanne
Tests
Ce tee-shirt a été testé en laboratoire et en usage sur les lieux de pratique par des coureurs de tous niveaux. Il a été adopté par l'ensemble des testeurs pour sa capacité à absorber et diffuser la transpiration vers l'extérieur. Conseils d'entretien
Lavage en machine - 30° max - normal
Pas de séchage en tambour
Évaluations d'utilisateurs
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