}\quad x\mapsto\frac{\ln x}x\quad\quad\mathbf{2. }\quad x\mapsto\cos(\sqrt x)$$
Enoncé On demande de calculer
$$I=\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\cos^2(x)}. $$
Sur une copie d'un étudiant, on lit
\begin{eqnarray*}
I&=&\int_0^\pi \frac{dx}{1+\frac{1}{1+\tan^2 x}}\\
&=&\int_0^\pi \frac{(1+\tan^2 x)dx}{2+\tan^2 x}. \end{eqnarray*}
Je pose $t=\tan x$, d'où $dt=(1+\tan^2 x)dx$, et j'obtiens
$$I=\int_{\tan 0}^{\tan \pi}\frac{1}{2+t^2}dt=0. $$
Pourquoi est-ce manifestement faux? Suites et intégrales exercices corrigés. Où est l'erreur de raisonnement? Quelle est la valeur de $I$? Fractions rationnelles
Démontrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in\mathbb R\backslash\{-1\}$,
$$\frac x{x+1}=a+\frac b{x+1}. $$
En déduire la valeur de $\int_1^2 \frac{x}{x+1}dx. $
Enoncé Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in]1, +\infty[$. Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que
$$\forall x\in]1, +\infty[, \ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}. $$
En déduire la primitive de $f$ sur $]1, +\infty[$ qui s'annule en 2.
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Pour $f, g\in H$, on pose
$$\langle f, g\rangle=\int_\Omega f\overline g\textrm{ et}\|f\|=\sqrt{\langle f, f\rangle}. $$
Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire hermitien sur $H$. Soit $w\in \Omega$. Prouver que
$$|f(w)|\leq \frac{1}{d(w, \partial \Omega)\sqrt \pi}\|f\|. $$
Soit $K$ un compact de $\Omega$. Prouver que
$$\sup_{w\in K} |f(w)|\leq \frac{1}{d(K, \partial \Omega)\sqrt \pi}\|f\|. Suites et intégrales exercices corrigés sur. $$
En déduire que $H$ est un espace de Hilbert. Intégrales à paramètres
Enoncé Montrer que la formule suivante définit une fonction holomorphe dans un
$$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt. $$
Enoncé Soit $f$ une fonction continue à support compact. On pose, pour $z\in\mathbb C$, $\hat{f}(z)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{zx}dx$. Montrer que $\hat{f}$ est une fonction entière. Que dire d'une fonction continue à support compact dont la transformée de Fourier
est à support compact? Produits infinis
Enoncé On considère le produit infini
$$f(z)=\prod_{n=0}^{+\infty}\left(1+z^{2^n}\right). $$
Prouver que ce produit converge normalement sur tout compact du disque unité $D$.
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Développer avec les identités remarquables, exercices corrigés de mathématiques en troisième (3ème) sur les identités remarquables. Exercice: Développer en utilisant les identités remarquable: Exercice: On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)².
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Attention, le dernier exemple comporte beaucoup de calculs! Exercice 3 - Primitive de fractions rationnelles
Enoncé Déterminer une primitive des fractions rationnelles suivantes: $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1. \ f(x)=\frac{2x^2-3x+4}{(x-1)^2}\textrm{ sur}]1, +\infty[&\quad&\mathbf 2. f(x)=\frac{2x-1}{(x+1)^2}\textrm{ sur}]-1, +\infty[ \\ \mathbf 3. \ f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}\textrm{ sur}]2, +\infty[&&\mathbf 4. f(x)=\frac{24x^3+18x^2+10x-9}{(3x-1)(2x+1)^2}\textrm{ sur}]-1/2, 1/3[ \end{array} $$
Pour approfondir…
Bien souvent, on ne sait pas calculer exactement l'intégrale d'une fonction. Ce qui importe alors, c'est d'estimer son comportement… comme dans les exercices suivants! Exercices corrigés sur le calcul intégral. Exercice 4 - Série harmonique alternée
Enoncé Pour $n\geq 0$, on définit $$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx. $$
Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0. Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$. En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$. Exercice 5 - Suites d'intégrales
Enoncé Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lll} \mathbf 1. u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2. u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}.
Plus généralement, on déduit les deux inégalités de la décroissance de la suite et de plus, pour la première, de la relation de récurrence: voir Équivalents et développements de suites: intégrales de Wallis. Exercice 17-7 [ modifier | modifier le wikicode]
Pour on pose:. Calculer. Montrer que la suite est positive et décroissante (donc convergente). Montrer que pour tous et on a:. En déduire que pour tout on a.
Calculer la limite de la suite. En effectuant une intégration par parties, montrer que pour tout on a. Étudier la convergence de la suite. Solution. La positivité est immédiate et la décroissance vient du fait que pour tout, et la suite est décroissante...
D'après le théorème des gendarmes,..
donc d'après la question précédente,. Exercice 17-8 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit pour. Suites et intégrales exercices corrigés france. Calculer et. Trouver une relation de récurrence entre et pour. En déduire et pour. Solution, avec, vérifiant à la fois, et (donc). On a donc le choix de prendre comme nouvelle variable, ou (ou).
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