Définition: Soit $f$ une fonction de $L^1(\mathbb R)$. On appelle
transformée de Fourier de $f$, qu'on note $\hat f$ ou $\mathcal F(f)$, la fonction définie sur $\mathbb R$ par:
Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier,
la normalisation peut changer. On rencontre par exemple souvent la définition:
Des facteurs $2\pi$ ou $\sqrt{2\pi}$ pourront changer dans les propriétés qu'on donne ci-après. Propriétés
Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb R)$. On a le tableau suivant:
$$
\begin{array}{c|c}
\textrm{fonction}&\textrm{transformée de Fourier}\\
\hline
f(x)e^{i\alpha x}&\hat f(t-\alpha)\\
f(x-\alpha)&e^{-it\alpha}\hat f(t)\\
(-ix)^n f(x)&\hat f^{(n)}(t)\\
f^{(p)}(x)&(it)^p \hat f(t)\\
f\star g&\sqrt{2\pi} \hat f \cdot \hat g\\
f\cdot g&\frac 1{\sqrt{2\pi}}\hat f\star \hat g\\
f\left(\frac x{\lambda}\right)&|\lambda|\hat f(\lambda t). \end{array}$$
En outre, pour tout $f$ de $L^1(\mathbb R)$, on prouve que $\hat f$ est continue et que $\hat f$ tend vers 0 en l'infini.
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Tableau Transformée De Fourier Et Transformee De Laplace
linspace ( tmin, tmax, 2 * nc)
x = np. exp ( - alpha * t ** 2)
plt. subplot ( 411)
plt. plot ( t, x)
# on effectue un ifftshift pour positionner le temps zero comme premier element
plt. subplot ( 412)
a = np. ifftshift ( x)
# on effectue un fftshift pour positionner la frequence zero au centre
X = dt * np. fftshift ( A)
# calcul des frequences avec fftfreq
n = t. size
f = np. fftshift ( freq)
# comparaison avec la solution exacte
plt. subplot ( 413)
plt. plot ( f, np. real ( X), label = "fft")
plt. sqrt ( np. pi / alpha) * np. exp ( - ( np. pi * f) ** 2 / alpha), label = "exact")
plt. subplot ( 414)
plt. imag ( X))
Pour vérifier notre calcul, nous avons utilisé une transformée de Fourier connue. En effet, pour la définition utilisée, la transformée de Fourier d'une gaussienne \(e^{-\alpha t^2}\) est donnée par:
\(\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}\)
Exemple avec visualisation en couleur de la transformée de Fourier ¶
# visualisation de X - Attention au changement de variable
x = np.
Le module convertit le domaine temporel donné en domaine fréquentiel. La FFT de longueur N séquence x[n] est calculée par la fonction fft(). Par exemple, from scipy. fftpack import fft
import numpy as np
x = ([4. 0, 2. 0, 1. 0, -3. 5])
y = fft(x)
print(y)
Production: [5. 5 -0. j 6. 69959347-2. 82666927j 0. 55040653+3. 51033344j
0. 55040653-3. 51033344j 6. 69959347+2. 82666927j]
Nous pouvons également utiliser des signaux bruités car ils nécessitent un calcul élevé. Par exemple, nous pouvons utiliser la fonction () pour créer une série de sinus et la tracer. Pour tracer la série, nous utiliserons le module Matplotlib. Voir l'exemple suivant. import
import as plt
N = 500
T = 1. 0 / 600. 0
x = nspace(0. 0, N*T, N)
y = (60. 0 * 2. 0**x) + 0. 5*(90. 0**x)
y_f = (y)
x_f = nspace(0. 0/(2. 0*T), N//2)
(x_f, 2. 0/N * (y_f[:N//2]))
()
Notez que le module est construit sur le module scipy. fftpack avec plus de fonctionnalités supplémentaires et des fonctionnalités mises à jour. Utilisez le module Python pour la transformée de Fourier rapide Le fonctionne de manière similaire au module.
Tableau Transformée De Fourier Exercices Corriges Pdf
Le son est de nature ondulatoire. Il correspond à une vibration qui se propage dans le temps. Pourtant, quand on écoute un instrument de musique, on n'entend pas une vibration (fonction du temps),
mais une note, c'est-à-dire une fréquence. Notre oreille a donc pesé le poids relatif de chaque fréquence dans le signal temporel:
elle a calculé la transformée de Fourier du signal original. Définition: Soit $f$ une fonction de $L^1(\mathbb R)$. On appelle
transformée de Fourier de $f$, qu'on note $\hat f$ ou $\mathcal F(f)$, la fonction définie sur $\mathbb R$ par:
Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier,
la normalisation peut changer. On rencontre par exemple souvent la définition:
Des facteurs $2\pi$ ou $\sqrt{2\pi}$ pourront changer dans les propriétés qu'on donne ci-après. Propriétés
Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb R)$. On a le tableau suivant:
$$
\begin{array}{c|c}
\textrm{fonction}&\textrm{transformée de Fourier}\\
\hline
f(x)e^{i\alpha x}&\hat f(t-\alpha)\\
f(x-\alpha)&e^{-it\alpha}\hat f(t)\\
(-ix)^n f(x)&\hat f^{(n)}(t)\\
f^{(p)}(x)&(it)^p \hat f(t)\\
f\star g&\sqrt{2\pi} \hat f \cdot \hat g\\
f\cdot g&\frac 1{\sqrt{2\pi}}\hat f\star \hat g\\
f\left(\frac x{\lambda}\right)&|\lambda|\hat f(\lambda t).
1
T1 = 2
T2 = 5
t = np. arange ( 0, T1 * T2, dt)
signal = 2 * np. cos ( 2 * np. pi / T1 * t) + np. sin ( 2 * np. pi / T2 * t)
# affichage du signal
plt. plot ( t, signal)
# calcul de la transformee de Fourier et des frequences
fourier = np. fft ( signal)
n = signal. size
freq = np. fftfreq ( n, d = dt)
# affichage de la transformee de Fourier
plt. plot ( freq, fourier. real, label = "real")
plt. imag, label = "imag")
plt. legend ()
Fonction fftshift ¶
>>> n = 8
>>> dt = 0. 1
>>> freq = np. fftfreq ( n, d = dt)
>>> freq
array([ 0., 1. 25, 2. 5, 3. 75, -5., -3. 75, -2. 5, -1. 25])
>>> f = np. fftshift ( freq)
>>> f
array([-5., -3. 25, 0., 1. 75])
>>> inv_f = np. ifftshift ( f)
>>> inv_f
Lorsqu'on désire calculer la transformée de Fourier d'une fonction \(x(t)\) à l'aide d'un ordinateur, ce dernier ne travaille que sur des valeurs discrètes, on est amené à:
discrétiser la fonction temporelle,
tronquer la fonction temporelle,
discrétiser la fonction fréquentielle.
La table des transformées de Fourier/Laplace
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Exemples simples ¶
Visualisation de la partie réelle et imaginaire de la transformée ¶
import numpy as np
import as plt
n = 20
# definition de a
a = np. zeros ( n)
a [ 1] = 1
# visualisation de a
# on ajoute a droite la valeur de gauche pour la periodicite
plt. subplot ( 311)
plt. plot ( np. append ( a, a [ 0]))
# calcul de A
A = np. fft. fft ( a)
# visualisation de A
B = np. append ( A, A [ 0])
plt. subplot ( 312)
plt. real ( B))
plt. ylabel ( "partie reelle")
plt. subplot ( 313)
plt. imag ( B))
plt. ylabel ( "partie imaginaire")
plt. show ()
( Source code)
Visualisation des valeurs complexes avec une échelle colorée ¶
Pour plus d'informations sur cette technique de visualisation, voir Visualisation d'une fonction à valeurs complexes avec PyLab. plt. subplot ( 211)
# calcul de k
k = np. arange ( n)
# visualisation de A - Attention au changement de variable
plt. subplot ( 212)
x = np. append ( k, k [ - 1] + k [ 1] - k [ 0]) # calcul d'une valeur supplementaire
z = np. append ( A, A [ 0])
X = np.
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