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A condition que S² - 4 P >=0
On peut même trouver un truc plus subtil: si les 2 racines jouent le même rôle, on peut souvent rédiger le problème en fonction de S et P.
Exemple: calculer Q=a^3 + b^3. Tu verras que a et b jouent le même rôle (si je les échange, ça ne changera pas la valeur de l'expression). Il n'est pas difficile d'écrire Q en fonction de S et P. Essaie. Aujourd'hui 01/07/2011, 19h39
#7
que veut tu dire par les 2 racines jouent le même rôle? 01/07/2011, 21h48
#8
L'idée est que si on prend une expression compliquée du genre
a^3 + b^3 - 25 a² - 25 b² + 9 a²b²
On voit que a et b jouent le même rôle; si je remplace a par b et b par a, ça ne change rien à l'expression. Alors, on peut écrire l'expression en fonction de S et P.
Souvent, quand les variables jouent le même rôle comme ici, il n'est pas opportun de détruire cette symétrie, il vaut mieux faire un changement de variable et prendre S et P.
02/07/2011, 09h22
#9
Elie520
En fait, la somme et le produit des racines au degré 2 du polynôme se généralisent en somme, puis somme des produits (ab+ac+ad+bc+bd+cd) puis en somme des triples produit (abc+abd+acd+bcd) et en produit de tout les éléments (abcd)
Au degré 4.
Somme Et Produit Des Racines Du
Exemples:
Exemple 1:
x1 + x2 = 22
x1. x2 = 120
Ici c'est facile à deviner x1 = 12 et x2 = 10. Exemple 2:
x1 + x2 = 2
x1. x2 = 1/4
Ici ce n'est facile à deviner. Il faut passer par l'équation
x2 - 2x + 1/4 = 0. Δ = (- 2) 2 - 4 (1)(1/4) = 4 - 1 = 3
Les solutions sont donc:
x1 = (2 + √3)/2 et x2 = (2 - √3)/2
Exemple 3:
Résoudre le système
x + y = 49
x 2 + y 2 = 1225
On trouve x = 21 et y = 28 ou x = 28 et y = 21. 4. Autres applications: connaissant une racine,
comment détermine-t-on la deuxième? On considère la forme générale d'une
foncion quadratique:
y = a x 2 + b x + c
qui possède deux zéros r1 et r2, et
dont on connait l'un d'entre-eux, soit r1. On veut déterminer alors le second zéro r2. On sait que:
r2 + r1 = - b/a
r1 r2 = c/a
r1 est connu. L'une des deux relations donne r2. Avec
la deuxième, qui est la plus simple, on a:
r2 = c/ar1
y = 3 x 2 - 7 x + 2
On donne le premier zéro: r1 = 2.
a = 3 et c = 2. donc c/a = 2/3
D'où r2 = 2/3x2 = 1/3
Le deuxième zéro est donc r2 = 1/3
5. Retrouver les deux formules de la somme et
du produit des racines en utilisant les polynômes
On ecrit cette fonction sous sa forme factorisée:
y = a(x - r1)(x - r2).
Somme Et Produit Des Racines 3
Ce sujet a été supprimé. Seuls les utilisateurs avec les droits d'administration peuvent le voir. Bonjour j'ai un exercice à faire sur les sommes et produits des racines mais je ne comprends pas comment faire la question 2
Voici l'énoncé:
Démontrer que si l'équation du second degré: ax²+bx+c=0 a deux racines distinctes, la somme S et le produit P de ces racines sont donnés par: S=-b/a et P=c/a
Est-ce encore vrai pour une racine double? Soit l'équation 2x²+14x-17=0
Sans calculer le discriminant, montrer que cette équation a deux racines. Sans les calculer, trouver leur somme et leur produit. En déduire qu'elles sont de signes contraires. 1) J'ai mis
Soit S = (x1)+(x2) et P = (x1)×(x2)
ax²+bx+c=a(x-x1)×(x-x2)
=a×[x²-(x1+x2)×(x)+(x1)×(x2)
=a[x²-Sx+P]
S = -b÷a et P = c÷a
2) J'ai pas compris
3) Il faut trouver le signe de b² et de Δ? Ou juste calculer x1 et x2 et faire une déduction? Merci de m'aider
Bonsoir dddd831,
2) si x1 = x2, la démonstration du 1 est-elle valable? 3) Oui, quel est le signe de delta?
Somme Et Produit Des Racines Video
Il est actuellement 02h45.
1. Les trois formes d'une fonction quadratique
Une fonction quadratique f de la variable x
peut s'ecrire sous les trois formes suivantes:
• Forme développée (ou forme générale): f(x) = ax 2 + bx + c. Les coefficients a, b, et c sont des réels, avec a ≠ 0). • Forme canonique: f(x) = a (x - h) 2 + k. La variable x ne figure
qu'une seule fois dans cette expression. Les coefficients h et k sont
les coordonnées de l'extremum de la fonction f. • Forme factorisée: f(x) = a (x - x1)(x - x2). C'est un produit de facteurs
du premier degré. x1 et x2 sont les zéros de la fonction f. Pour toute fonction quadratique f(x) est associé un trinôme
T(x) = ax 2 + bx + c et une équation du second degré
à une inconnue ax 2 + bx + c = 0. Les zéros de la fonction f sont ses abscisses à
l'origine, ce sont les racines du trinôme T(x). Que ce soit sous forme générale, canonique, ou factorisée,
la fonction quadratique f(x) dépends toujours de trois
coefficients:
a, b, et c pour la forme générale,
a, h, et k pour la forme canonique, ou
a, x1 et x2 pour la forme factorisée.
Règles de calcul avec les racines carrées
Propriété 9. Les règles de calcul avec les racines carrées sont les mêmes que les règles appliquées aux nombres décimaux, aux fractions et au calcul littéral, en respectant les nouvelles propriétés des racines carrées. 1. Calculer une somme avec une même racine carrée
Exercice résolu n°1. Calculer $A=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}$, et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible! 2. Calculer une somme avec plusieurs racines carrées réduites
Exercice résolu n°2. Calculer $B=5\sqrt{2}-7\sqrt{3}-8+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+12$, et donner le résultat sous la forme la plus réduite possible! 3. Calculer une somme avec plusieurs racines carrées
Exercice résolu n°3. Calculer $C= 5\sqrt{32}+2\sqrt{18}-\sqrt{50}$, et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible! 4. Calculer un produit avec des racines carrées
Exercice résolu n°4.