Détermine les réels a et b pour que la courbe représentative de f admette une tangente horizontale T au point M de coordonnées (3; 7/2). Connaissant les valeurs de a et b, donner l'équation de la tangente U à la courbe représentative de f au point N de coordonnées (0…
Exercice Fonction Dérivée Stmg
1. Autour de la formule de Leibniz
2. Généralisation du théorème de Rolle pour un intervalle qui n'est pas un segment
3. Utilisation du théorème de Rolle
4. Autour du théorème des accroissements finis. Exercice 1. Soit. Dérivée -ième de. Exercice 2
Soit. Calculer la dérivée -ième de. On se place sur. On note et
si,
si
et. Par la formule de Leibniz
Il suffit donc de sommer de à et dans ce cas
Le seul terme de la somme non nul en est celui pour:
Si,
par le binôme de Newton (en faisant attention qu'il manque le terme pour qui est égal à 1). Exercice Dérivée d'une fonction : Terminale. Exercice 3
En dérivant fois, on obtient. Vrai ou Faux? Correction:
Soit et. Par la formule de Leibniz:
donc
est une fonction polynôme de degré de coefficient dominant. On écrit avec
Le coefficient de dans cette écriture est. En égalant les deux valeurs de, on obtient. Exercice 4
Soient et. En dérivant fois la fonction,
on obtient:. Vrai ou Faux? La relation n'est pas vraie si est impair, et. Soit. Alors
On note et un argument de
et est du signe de
donc.
Par la première question, admet racines distinctes notées que l'on suppose rangées par ordre strictement croissant. On note toujours. On suppose que. Si ne s'annule pas sur l'intervalle, la fonction continue garde un signe constant sur, donc est monotone sur. On rappelle que et que. Par croissance comparée,. Par la monotonie de sur, est nulle sur cet intervalle, il en est de même de, ce qui est absurde. Donc s'annule sur en et admet racines distinctes. Si ne s'annule pas sur, garde un signe constant sur, donc est monotone sur. Dans les deux cas, on a prouvé que est scindé à racines simples. En divisant par, on a prouvé que est scindé à racines simples. Soit une fonction deux fois dérivable sur () à valeurs réelles et telle que et où sur. Montrer que est nulle sur. Exercice fonction dérivée un. est deux fois dérivable sur
donc est croissante sur. Comme, le théorème de Rolle donne l'existence de tel que. La croissance de donne si et si. est décroissante sur et croissante sur. Donc car. Comme est à valeurs positives ou nulles, on a prouvé que soit.
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