accueil / sommaire cours terminale S / raisonnement par récurrence
1) Exemple de raisonnement par récurrence
Soit a une constante réel > 0 fixe et quelconque. Montrer que l'on a (1+a) n ≥ 1 + na pour tout naturel n. L'énoncé "(1+a) n ≥ 1 + na" est un énoncé de variable n, avec n entier ≥ 0, que l'on notera P(n). Montrons que l'énoncé P(n) est vrai pour tout entier n ≥ 0. P(0) est-il vrai? a-t-on (1 + a) 0 ≥ 1 + 0 × a? oui car (1 + a) 0 = 1 et 1 + 0 × a = 1
donc P(0) est vrai (i). Soit p un entier ≥ 0 tel que P(p) soit vrai. Nous avons, par hypothèse (1+a) p ≥ 1 + pa, alors P(p+1) est-il vrai? A-t-on (1+a) p+1 ≥ 1 + (p+1)a? Nous utilisons l'hypothèse (1+a) p ≥ 1 + pa
d'où (1+a)(1+a) p ≥ (1+a)(1 + pa) car (1+a) est strictement positif
d'où (1+a) p+1 ≥ 1 + pa + a + pa² or pa² ≥ 0
d'où (1+a) p+1 ≥ 1 + a(p+1). L'énoncé P(p+1) est bien vrai. Nous avons donc: pour tout entier p > 0 tel que P(p) soit vrai, P(p+1) est vrai aussi (ii). Conclusion:
P(0) est vrai
donc d'après (ii) P(1) est vrai
donc d'après (ii) P(2) est vrai
donc d'après (ii) P(3) est vrai
donc d'après (ii) P(4) est vrai...
donc P(n) est vrai pour tout entier n ≥ 0, nous avons pour entier n ≥ 0 (1+a) n ≥ 1 + na
2) Généralisation du raisonnement par récurrence
Soit n 0 un entier naturel fixe.
- Raisonnement par récurrence somme des carrés de soie brodés
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Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés De Soie Brodés
L'idée de partir sur le somme de n premiers impairs (qui est égale à n², voir un peu plus loin dans ce forum) est excellente. Aujourd'hui 05/03/2006, 15h39
#7
matthias
Envoyé par fderwelt Mais c'est vrai que cete expression de P(n) n'est pas franchement intuitive, et que la balancer dans une récurrence comme si on avait eu la révélation, c'est pas très honnête. Une autre solution un peu moins malhonnête (mais juste un peu) consiste à supposer que l'on va obtenir un polynôme de degré 3, et d'en calculer les coefficients à l'aide des premiers termes. Ensuite on montre le tout rigoureusement par récurrence. Ca permet aussi de retrouver facilement le résultat si on ne connait pas la formule par coeur. 05/03/2006, 15h45
#8
Envoyé par matthias Une autre solution un peu moins malhonnête (mais juste un peu) consiste à supposer que l'on va obtenir un polynôme de degré 3, et d'en calculer les coefficients à l'aide des premiers termes. Ensuite on montre le tout rigoureusement par récurrence. Ca permet aussi de retrouver facilement le résultat si on ne connait pas la formule par coeur.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Cadres Photos
Déterminer la dérivée n ième de la fonction ƒ (n) pour tout entier n ≥ 1. Calculons les premières dérivées de la fonction ƒ. Rappel: (1/g)' = −g'/g 2 et (g n)' = ng n−1 g'. ∀ x ∈ D ƒ, ƒ ' (x) = −1 / (x + 1) 2 =. ∀ x ∈ D ƒ, ƒ '' (x) = (−1) × (−2) × / (x + 1) 3 = 2 / (x + 1) 3 =
∀ x ∈ D ƒ, ƒ (3) (x) = 2 × (−3) / (x + 1) 4 =
∀ x ∈ D ƒ, ƒ (4) (x) = (−2 × 3 × −4) / (x + 1) 5 = 2 × 3 × 4 / (x + 1) 5 =
Pour n ∈ {1;2;3;4;} nous avons obtenu:
∀ x ∈ D ƒ, ƒ (n) (x) = (−1) n n! / (x + 1) n+1 =
soit P(n) l'énoncé de récurrence de variable n pour tout n ≥ 1 suivant:
« ƒ (n) (x) = (−1) n n! / (x + 1) n+1 = »,
montrons que cet énoncé est vrai pour tout entier n ≥ 1.
i) P(1) est vrai puisque nous avons ƒ ' (x) = −1 / (x + 1) 2 = (−1) 1 1! / (x + 1) 1+1
ii) Soit p un entier > 1 tel que P(p) soit vrai, nous avons donc ∀ x ∈ D ƒ, ƒ (p) (x) = (−1) p p! / (x + 1) p+1, montrons que P(p+1) est vrai, c'est-à-dire que l'on a ∀ x ∈ D ƒ, ƒ (p+1) (x) = (−1) p+1 (p+1)! / (x + 1) p+2. ∀ x ∈ D ƒ, ƒ (p+1) (x) = [ƒ (p) (x)] ' = [(−1) p p!
Il est... ) de poser à chaque fois un nouveau principe, par exemple, une récurrence sur les entiers pairs (prendre P ( 2n)), etc. Exemple 1: la somme des n premiers entiers impairs Les entiers impairs sont les entiers de la forme 2 n +1 (le premier, obtenu pour n =0, est 1). On déduit d'une identité remarquable (En mathématiques, on appelle identités remarquables ou encore égalités... ) bien connue que 2 n +1 ajouté au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses... ) de n donne le carré du nombre suivant: n 2 +2 n +1 = ( n +1) 2 On va donc montrer par récurrence que la somme des n premiers entiers impairs est égale au carré de n: 1+3+ … + (2 n -1) = n 2. Bien que l'écriture précédente puisse laisser entendre que 2 n -1 > 3, on ne le supposera pas. La somme est vide donc nulle si n = 0, réduite à 1 si n =1, égale à 1+3 si n =2 etc. initialisation: le cas n =0 est celui où la somme est vide, elle est donc bien égale à 0 2 hérédité: pour un entier n arbitraire, on suppose que 1+3+ … + (2 n -1) = n 2.
Archipel des Bijagos - Guinée Bissau - Guinée
Publication 2022. Côte du Sénégal. De Casablanca (Dâr el Beïda) au Cap Jubi - Archipel de Madère (Arquipelago da Madeira) et Iles Canaries (Islas Canarias)
Echelle 1: 1000000
Carte supprimée par le Shom - Exclusivement destinée à la Marine Nationale - Remplacé par la carte Imray E1
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Côte de Mauritanie. Echelle 1: 331 000 - Tirage 2013
Côte sud de Mauritanie. Echelle 1: 336 000 - Tirage 2013
Côte du sénégal
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Echelle: 1: 175000
Echelle: 1: 200000
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Echelle 1: 50 000
Echelle 1: 300 000
INT 1893
Publication 1998 - Tirage à jour 2015
Publication 2021. Carte marine Shom et Admiralty Atlantique Acores - Côte Ouest Afrique - Carte marine papier. Remplace la carte Shom 6178
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Iles Canaries - carte marine Admiralty
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