Exemple: Pour tout n ≥ 0, les suites u et v sont définies par les formules explicites suivantes: Ces formules permettent de calculer directement un terme de rang quelconque.
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Exercices Corrigés Sur Les Suites Terminale Es Mi Ip
Méthodologie: Comment présenter une copie, réviser un controle. 4. Compléments
Le Bac
Coefficients, modalités... Exercices corrigés sur les suites terminale es tu. Présenter une copie de mathématiques
Un peu d'histoire
La Formule de Leibniz (1646-1716) Cette formule célèbre permet d'obtenir une approximation du nombre \(\pi\). Elle fut découverte en Occident au 17e mais apparaît déjà chez le mathématicien indien Madhava vers 1400. $$\pi=4\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{2k+1}=4\left( 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}+ \cdots \right) $$
Cette série converge si lentement que près de 200 termes sont nécessaires pour calculer \(\pi\) avec deux décimales exactes
On peut aussi montrer, mais cela dépasse largement le cadre du programme de terminale que:
$$1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+ \cdots =\dfrac{\pi^2}{6}=\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2}$$
Pour en savoir plus => Le nombre pi: Formules magiques et approximations. Recommander l'article:
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Alors:
$\begin{align*} 2^{n+1} &= 2 \times 2^n \\\\
& > 2 n^3 &\text{hypothèse de récurrence}\\\\
& > (n+1)^3 &\text{préambule}
La propriété est donc vraie au rang $n+1$. Conclusion: La propriété est vraie au rang $10$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n \ge 10$, on a $2^n>n^3$. Montrons par récurrence que pour tout $n \ge 7$ alors $n! > 3^n$. Initialisation: Si $n=7$ alors $7! = 5~040$ et $3^7=2~187$. La propriété est donc vraie au rang $7$. Hérédité: Supposons la propriété vraie au rang $n$: $n! Suites en Terminale : cours sur les suites en terminale au lycée. > 3^n$. $\begin{align*} (n+1)! &=(n+1) \times n! \\\\
&>(n+1) \times 3^n & \text{hypothèse de récurrence}\\\\
&>3 \times 3^n & \text{car $n\ge 7$ alors $n+1>3$} \\\\
&>3^{n+1}
Conclusion: La propriété est vraie au rang $7$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n\ge7$ on a $n! > 3^n$. [collapse]
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