LES SYSTEMES DE NUMERATION. 1) Base d'un système de numération. La
base d'un système de numération est le nombre de chiffres différents qu'utilise ce...
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LES SYSTEMES DE NUMERATION
1) Base d'un système de numération
La base d'un système de numération est le nombre de chiffres différents qu'utilise ce système de numération. En électronique numérique, les systèmes les plus couramment utilisés sont: le système binaire, le système octal, le système décimal et le système hexadécimal. Se rappeler que: a0 = 1.
a) Système décimal
C'est le système de numération décimal que nous utilisons tous les jours. C'est le système de base 10 qui utilise donc 10 symboles différents: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Un nombre N (entier positif) exprimé dans le système de numération décimale est défini par la relation ci-dessous:
N = an * 10n + an-1 * 10n-1.............. + a0 * 100 (où an est un chiffre de rang n)
Exemple: N = (1975)10
N = 1 * 103 + 9 * 102 + 7 * 101 + 5 *100
Les puissances de 10 sont appelés les poids ou les valeurs de position.
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Il faut donc regrouper les 1 et 0 du nombre par quartet en commençant par la droite, puis chaque groupe est remplacé par le symbole hexadécimal correspondant. Exemple: N =% 100001101111
N =% 1000 0110 1111
8 6 F
N = $ 86F
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Exemple: conversion de N=( 3786)10 en nombre hexadécimal (b=16). ( nous recherchons d'abord la plus grande puissance de 16 contenue dans N:
3786 > 256 (162) et 3786 < 4096 (163)
( nous retenons donc: 162
( recherchons ensuite le plus grand multiple de 16 contenu dans N:
N: 162 = 14. 789
N = 14 * 162 + 202
( recommençons avec le reste et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d'un reste inférieur à 16:
202: 161 = 12. 625
202 = 12 * 161 + 10
( ce qui donne:
N = 14 * 162 + 12 * 161 + 10 * 160
( ou encore: N = E * 162 + C * 161 + A * 160
Donc: (3786)10 = (ECA)16
Deuxième méthode: Nous divisons le nombre décimal à convertir par la base b et nous conservons le reste. Le quotient obtenu est divisé par b et nous conservons le reste. S'il y a un reste, le résultat est égal à 1 sinon il est égal à 0. Il faut répéter l'opération sur chaque quotient obtenu. Les restes successifs sont écrits, en commençant par le dernier, de la gauche vers la droite pour former l'expression de N dans le système de base b.
Exemple: conversion de N = (3786)10 en un nombre du système binaire (b=2).
3786 2 1893 2
0 1893 1 946
946 2 473 2
0 473 1 236
236 2 118 2
0 118 0 59
59 2 29 2
1 29 1 14
14 2 7 2
0 7 1 3
3 2 1 2
1 1 1 1
Le nombre binaire ainsi obtenu est: N =% 010100110111
c) autres conversions
* conversion d'un nombre octal en un nombre binaire:
Chaque symbole du nombre écrit dans le système octal est remplacé par son équivalent écrit dans le système binaire à trois bits (voir tableau de correspondance ch. a)). Exemple: N = (257)8 =% 010 101 111
2 5 7
* conversion d'un nombre binaire en un nombre octal:
C'est l'opération inverse de la précédente. Il faut regrouper les 1 et 0 du nombre trois par trois en commençant par la droite, puis chaque groupe est remplacé par le chiffre octal correspondant. Exemple: N =% 11001101111 = 11 001 101 111
3 1 5 7
N = @ 3157
* conversion d'un nombre hexadécimal en un nombre binaire:
Chaque symbole du nombre hexadécimal est remplacé par son équivalent écrit dans le système binaire. Exemple: N = $ B F 8
N =% 1011 1111 1000
B F 8
* conversion d'un nombre binaire en un nombre hexadécimal:
C'est l'inverse de la précédente.
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