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mercredi 9 mai 2018, par
Méthode
Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d'avoir assimilé celles-ci:
Dériver les fonctions usuelles. Dériver une somme, un produit par un réel. Dériver un produit. Mathématiques : Contrôles en Terminale ES 2012-2013. Dériver un quotient, un inverse. Nous allons voir ici comment dériver l'exponentielle d'une fonction c'est à dire une fonction de forme $e^u$. En fait, c'est plutôt facile: on considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$. Alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et:
$\left(e^u\right)'=e^u\times u'$
Notons que pour bien dériver l'exponentielle d'une fonction, il est nécessaire de:
connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc... ) appliquer la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction en écrivant bien, avant de se lancer dans le calcul, ce qui correspond à $u$ et à $u'$. Remarques
Attention, une erreur classique est d'écrire que $\left(e^u\right)'=e^u$.
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Dérivée Fonction Exponentielle Terminale Es Strasbourg
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par b6rs6rk6r 30-10-17 à 14:06 Bonjour,
Je suis devant une sorte de QCM à Justification, et je sèche sur certaines affirmations:
Énonce:
Soit f la fonction définie sur par et C sa courbe représentative dans un repère du plan.
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$u(x)=-4x+\frac{2}{x}$ et $u'(x)=-4+2\times \left(-\frac{1}{x^2}\right)=-4-\frac{2}{x^2}$. Donc $k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et:
k'(x) & = e^{-4x+\frac{2}{x}}\times (-4-\frac{2}{x^2}) \\
& = (-4-\frac{2}{x^2}) e^{-4x+\frac{2}{x}}
Niveau moyen/difficile
Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$, $k$, $l$ et $m$ sur $\mathbb{R}$. $f(x)=3e^{-2x}$
$g(x)=2e^{3x}+\frac{e^{-x}}{2}$
$h(x)=x^2e^{-x}$
On demande de factoriser la dérivée par $e^{-x}$. $k(x)=(5x+2)e^{-0, 2x}$
On demande de factoriser la dérivée par $e^{-0, 2x}$. $l(x)=\frac{3}{5+e^{2x}}$
On demande de réduire l'expression obtenue sans développer le dénominateur. Dérivée d'une fonction exponentielle- Savoirs et savoir-faire (leçon) | Khan Academy. $m(x)=\frac{1-e^{-5x}}{1+e^{-5x}}$
On remarque que $f=3\times e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser la formule de dérivation du produit d'une fonction par un réel (voir à ce sujet Dériver une somme, un produit par un réel) puis la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction. $u(x)=-2x$ et $u'(x)=-2$. f'(x) & = 3\times \left( e^{-2x} \times (-2)\right) \\
& = -6e^{-2x}
On remarque que $g=2\times e^u+\frac{1}{2}\times e^v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
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$u(x)=5x+2$ et $u'(x)=5$. $v(x)=e^{-0, 2x}$ et $v'(x)=e^{-x}\times (-0, 2)=-0, 2e^{-x}$. Donc $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et:
k'(x) & = 5\times e^{-0, 2x}+(5x+2)\times \left(-0, 2e^{-0, 2x}\right) \\
& = 5e^{-0, 2x}+(-0, 2\times(5x+2))e^{-0, 2x} \\
& = 5e^{-0, 2x}+(-x-0, 4)e^{-0, 2x} \\
& =(5-x-0, 4)e^{-0, 2x} \\
& = (4, 6-x)e^{-0, 2x}
On remarque que $l=3\times \frac{1}{v}$ avec $v$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et qui ne s'annule pas sur cet intervalle. Dériver l’exponentielle d’une fonction - Mathématiques.club. Nous allons utiliser la formule de dérivation du produit d'une fonction par un réel, puis de l'inverse d'une fonction (voir Dériver un quotient, un inverse) et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction. $v(x)=5+e^{2x}$ et $v'(x)=0+e^{2x}\times 2=2e^{2x}$. Donc $l$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et:
l'(x) & = 3\times \left(-\frac{2e^{2x}}{(5+e^{2x})^2}\right) \\
& = \frac{-6e^{2x}}{(5+e^{2x})^2}
On remarque que $m=\frac{u}{v}$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$ et $v$ qui ne s'annule pas sur cet intervalle.
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