Exercice résolu 2. Calculer et écrire sous la forme $a+b\sqrt{c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres rationnels, $c\geqslant0$: 1°) $A=(5+3\sqrt{2})^2$; 2°) $B=(3\sqrt{2}-4)^2$; 3°) $C=(3-2\sqrt{5})(3+\sqrt{5})$. 4. Rendre rationnel un dénominateur
Rappels: Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres rationnels, $d>0$. Alors: La quantité conjuguée de $c+\sqrt{d}$ est $c-\sqrt{d}$, et réciproquement. De plus: $$(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) =c^2-d \in \Q$$ Le produit ces deux quantités conjuguées est un nombre rationnel! Dans une expression numérique quotient $A$, rendre rationnel un dénominateur, signifie qu'il faut transformer $A$ pour obtenir un dénominateur entier. (Faire disparaître la racine carrée au dénominateur). Dm de maths nivaeu 3ème triangle rectangle. Exercice résolu n°3. Écrire les expressions numériques suivantes avec un dénominateur rationnel, puis sous la forme $a+b\sqrt{c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres rationnels, $c\geqslant0$. 1°) $A=\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$; 2°) $B=\dfrac{5}{4-\sqrt{3}}$; 3°) $C=\dfrac{5+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$;
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Ce produit de facteurs est nul si au moins un de
ses facteurs est nul. On a donc:
\\
x-\sqrt{a}=0 \qquad \text{ ou} \qquad x+\sqrt{a}=0\\
x=\sqrt{a} \qquad \qquad \; \; \; \; \; \qquad x=-\sqrt{a}
Cette équation admet deux solutions: \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\). - Si \(a=0\), alors:
&x^{2}=a=0\\
&x^{2}=0
donc \(x=0\)
On a bien une seule solution à cette
équation: 0. Si \(a<0\),
l'équation \(x^{2}=a\) n'a
pas de solution car un carré n'est jamais
5 > 0 donc l'équation \(x^{2}=5\)
admet deux solutions: \(\sqrt{5}\)
et \(-\sqrt{5}\). Racine carré 3eme identité remarquable dans. -8 < 0 donc l'équation \(x^{2}=-8\)
n'admet aucune solution. 49 > 0 donc l'équation \(x^{2}=49\)
admet deux solutions: \(\sqrt{49}=7\)
et \(-\sqrt{49}=-7\). V) Applications numériques
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un
ou plusieurs radicaux. Les règles de calcul concernant la
distributivité, la
factorisation ou encore les identités remarquables restent valables en
présence
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