x2 = (- b + √Δ)/2a x (- b - √Δ)/2a =
[(- b) 2 + b √Δ - b √Δ - Δ]/ (2a x 2a) =
[(- b) 2 - Δ]/ (2a x 2a) =
[(- b) 2 - (b 2 - 4ac)]/ (2a x 2a) =
[(- b) 2 - b 2 + 4ac]/ (2a x 2a) =
[ 4ac)]/ (2a x 2a) = c/a
P = c/a
On retient:
Si x1 et x2 sont les solutions de l'équation
ax 2 + bx + c = 0, alors
La somme des racines est S = x1 + x2 = - b/a
Le produit des racines est P = x1. x2 = c/a
Remplaçons b = - a S et c = a P dans l'équation ax 2 + bx + c = 0,
on obtient:
ax 2 + (- a S) x + a P = 0
a(x 2 - S x + P) = 0
x 2 - S x + P = 0
Si l'équation ax 2 + bx + c = 0 admet deux
solutons x1 et x2, alors elle peut s'ecrire sous la forme:
x 2 - Sx + P = 0
où S = x1 + x2 = - b/a, et
P = x1. x2 = c/a
ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a)x + c/a) =
a(x 2 - (- b/a)x + c/a) = a(x 2 - S x + P)
3. Applications
3. On connait les deux solutions x1 et x2 de l'équation
du second degré, et on veut ecrire la fonction associée
sous forme générale:
• Soit on utilise la forme factorisée a(x - x1)(x - x2), et ensuite
on développe,
• Soit on utilise directement la méthode de la somme et de la différence:
a (x 2 - S x + P).
- Somme et produit des racines les
- Somme et produit des racines
- Etang de peche dans la vienne et
Somme Et Produit Des Racines Les
Combien vaut S et P
2) Je ne comprnds pas car pour moi une racine double c'est -b/2a alors que x1 et x2 sont deux racines distinctes
Je ne vois pas comment refaire la démonstration
Dans l'énoncé on dit qu'il ne faut pas calculer le discriminant je dois donc factoriser f(x)? Dans la démonstration, y a t-il une condition entre x1 et x2? Tu ne calcules pas le discriminant mais tu indiques son signe puis la valeur de la somme et du produit. 2) Désolé je n'ai toujours pas compris
Il faut montrer que si Δ=0 dans ax²+bx+c alors x=-b/2a = x1+x2? 3) En revanche j'ai avancé sur cette question:
a = 2 et c = -17
a et c sont de signes contraires, donc Δ est toujours postif
S = -14/2
P = -17/2
Le produit de x1 par x2 est négatif ce qui montre que x1 et x2 sont de signes contraires
Si S = 2x1 et P = x1²
alors ax² + bx + c =....
juste. alors ax²+bx+c= a[x²-(2x1)x+x1²]
Je dois en conclure que c'est vrai pour S et faux pour P? Pourquoi tu indiques faux pour P? P = x1x2
Or x1=x2
Donc (x1)² = P
Mais je pense que j'ai faux
Si tu reprends la démonstration:
S = (x1)+(x2) et P = (x1)×(x2)
avec x1 = x2, cela donne....
Somme Et Produit Des Racines
Si un trinôme a x 2 + b x + c ax^{2}+bx+c admet deux racines x 1 x_{1} et x 2 x_{2}, alors la somme et le produit des racines sont égales à: S = x 1 + x 2 = − b a {\color{red}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}} et P = x 1 × x 2 = c a {\color{blue}P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}}. D'après la question 1 1, nous avons montré que 7 7 est une racine de notre trinôme. Nous allons donc poser par exemple x 1 = 7 x_{1}=7. D'après la question 2 2, nous savons que: { S = x 1 + x 2 = 8 P = x 1 × x 2 = 7 \left\{\begin{array}{ccc} {S=x_{1}+x_{2}} & {=} & {8} \\ {P=x_{1}\times x_{2}} & {=} & {7} \end{array}\right. Nous choisissons ici de d e ˊ terminer l'autre racine avec la premi e ˋ re ligne de notre syst e ˋ me. \red{\text{Nous choisissons ici de déterminer l'autre racine avec la première ligne de notre système. }} Nous aurions pu e ˊ galement utiliser la deuxi e ˋ me ligne e ˊ galement. \red{\text{Nous aurions pu également utiliser la deuxième ligne également. }} Il en résulte donc que: x 1 + x 2 = 8 x_{1}+x_{2}=8 7 + x 2 = 8 7+x_{2}=8 x 2 = 8 − 7 x_{2}=8-7 x 2 = 1 x_{2}=1 La deuxième racine de l'équation x 2 − 8 x + 7 = 0 x^{2}-8x+7=0 est alors x 2 = 1 x_{2}=1.
De meme, tu peux encore généraliser au degré n. C'est fonctions sont alors appelées "fonctions symétriques élémentaires" car comme l'ont deja fait remarquer les autre posts, tu peux échanger deux variables sans changer la valeur de ta fonction. C'est ce qu'on appelle des invariants pour un polynôme. Leur utilité est non négligeable puisqu'elles peuvent éventuellement t'aider à trouver les racines de polynômes de degré 3 et 4. Je m'explique: Si ton polynôme s'écrit P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d) (forme d'un polynôme unitaire de degré 4), tu remarques qu'en développant, tu retrouves ces fonctions symétriques élémentaires, a un signe près. Tu obtiens donc des relations entre les racines de ton polynôme et ses coefficients sous forme de système, souvent facilement résoluble. Pour plus d'infos, tape "Fonctions symétriques élémentaires"
Cordialement
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Dernier message: 17/09/2006, 11h17 Fuseau horaire GMT +1.
Les pompiers ont envoyé des plongeurs ce samedi matin dans un étang de Barsac, pour vérifier qu'il n'y avait pas de victime, après qu'une voiturette ait été retrouvée dans l'eau. L'opération est terminée, et aucun corps n'a été trouvé. Image d'illustration © Radio France
- Willy Moreau
Une voiturette a été retrouvée dans un étang à Barsac ce samedi matin. Les pompiers ont été déployés sur place vers 8h10. Des plongeurs ont vérifié qu'il n'y avait pas de victime aux abords du véhicules. Aucun corps n'a été retrouvé. Etang de peche dans la vienne la. L'opération est terminée. Le véhicule aurait été volé dans la nuit avant d'être retrouvé dans l'eau.
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