Introduction Durée: 90 minutes Niveau: très difficile On appelle suite de Fibonacci toute suite vérifiant pour tout entier naturel:
1) Montrer qu'il existe une seule suite géométrique à termes positifs vérifiant la relation (*), et de premier terme 1. Montrer que cette suite a pour raison le nombre, solution positive de l'équation. Rappelons que ce nombre s'appelle le nombre d'or. a. Calculer les termes des suites
et, pour
allant de 1 à 6. d. Etablir une conjecture sur: la convergence de la suite, le comportement de la suite, le comportement de la suite, la limite des suites,,. 3) a. Montrer que:,. b. Montrer que la suite
est croissante puis que la suite
est décroissante. c. Montrer que. En déduire par récurrence:. Montrer que les suites
et
sont adjacentes, et donner leur limite commune.
Suite De Fibonacci Et Nombre D Or Exercice Corrigé Les
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Nombre d'or
La relation de récurrence linéaire u(n)=u(n-1)+u(n-2) a pour équation
caractéristique x 2 =x+1 ou encore x 2 - x - 1 = 0 de
discriminant Delta = 5 et de racines
a=(1-5 ½)/2 et b=(1+ 5 ½)/2 (b est le nombre d'or)
On a donc une formule explicite directe u(n) = A a n + B b n
où A et B dépendent de u(0) et de u(1). La suite de Fibonacci vérifie F(n) = (b n - a n) / 5 ½
a=-0, 618033988749894848... et b=1, 618033988749894848...
Comme |a| = 0, 618... < 1, pour n suffisamment grand, F(n) est très proche
de b n / 5 ½
Exemple: F(10) = 55 et b 10 / 5 ½ = 55. 0036361
La suite de Fibonacci est proche d'une suite géométrique de raison b et
pour n suffisamment grand, F(n+1) est proche de b F(n)
Exemple: F(10) = 55, F(11) = 89 et b × F(10)=88. 9918693
Développement en fraction continue du nombre d'or
On sait que b= (1+ 5 ½)/2 vérifie b 2 = b+1 donc
b = 1 + 1/b = 1+1/(1+1/b) = 1+1/(1+1/(1+1/b)) =... Le nombre d'or est approché par les quotients successifs
F(n+1)
F(n):
1
2
3
5
8
13
8...
D'ailleurs, en divisant par F(n+1) la relation F(n+2) = F(n+1) + F(n), on obtient
F(n+2) / F(n+1) = 1 + F(n) / F(n+1) ou encore
ce qui permet de montrer que l'on a bien les réduites successives du nombre d'or.
Suite De Fibonacci Et Nombre D Or Exercice Corrigé La
Enoncé: La suite de Fibonnacci est la solution au problème suivant: supposons qu'un couple (un mâle, une femelle) de lapins immatures soit mis dans un champ, que la maturité sexuelle du lapin soit atteinte après un mois qui est aussi la durée de gestation, que chaque portée comporte toujours un mâle et une femelle et que les lapins ne meurent pas. Combien y aura-t-il de lapins dans le champ après un an? Écrivez un programme qui affiche les premiers termes de la suite de Fibonacci. Cette suite qu'on notera F peut se calculer ainsi: F(0) = 1, F(1) = 1, F(i) = 1 et F(i-1) + F ( i – 2). Essayez les deux possiblités: avec et sans récursivité. Quelle version est la plus rapide? Vérifiez que le quotient de 2 nombres consécutifs de la suite de Fibonacci converge vers le nombre d'or (1+? 5)/2, qui vaut environ 1.
Suite De Fibonacci Et Nombre D Or Exercice Corrigé Etaugmenté De Plusieurs
Calcul des termes F n et des quotients de termes consécutifs. Arbre de Stern-Brocot
L' arbre de Stern-Brocot représenté ci-contre en partie, contient toutes les fractions irréductibles strictement
positives a / b, une seule fois chaque, et uniquement ces fractions. (Le numérateur a et le dénominateur b sont deux naturels premiers entre-eux). Tout en haut de l'arbre, il faudrait placer la fraction 0/1 à l'extrême gauche
et l'écriture (pas vraiment une fraction! ) 1/0 à l'extrême droite. L'arbre de Stern-Brocot se remplit en prenant les fractions intermédiaires de a/b au-dessus, immédiatement à gauche et c/d au-dessus à droite, tout simplement en additionnant les numérateurs d'une part, les dénominateurs d'autre part ce qui donne (a+c)/(b+d). Par exemple
a) 3/2 s'obtient à partir de 2/1 et 1/1,
b) 5/3 à partir de 3/2 et 2/1,
c) 8/5 à partir de 5/3 et 3/2,
d) 13/8 à partir de 8/5 et 5/3,
e) 21/13 à partir de de 13/8 et 8/5...
f) F(n+1)/F(n) à partir de de F(n)/F(n-1) et F(n-1)/F(n-2) tout simplement car F(n+1) = F(n)+F(n-1) au numérateur et F(n) = F(n-1)+F(n-2) au dénominateur (et aussi qu'on a bien débuté en prenant 2/1 et 1/1, pour bien rédiger notre raisonnement par récurrence).
Aujourd'hui, voici un article sur le surbooking. Revenons sur son fonctionnement. Qu'est-ce que le surbooking? Le surbooking est une pratique commerciale courante dans le secteur du transport aérien. Il s'agit de la vente d'un nombre de places supérieur au nombre de sièges disponibles dans l'avion. Cette pratique est possible grâce à la réglementation qui permet aux compagnies aériennes de surcharger les avions de 10%. Le surbooking est une stratégie commerciale qui permet aux compagnies aériennes de maximiser leur profits. En effet, en surbookant les vols, elles s'assurent que tous les sièges seront occupés et que leur avion sera plein à chaque décollage. C'est une pratique courante et légale dans le transport aérien. Les passagers sont souvent mis au courant du surbooking lorsqu'ils tentent d'embarquer et que le vol est complet. Les compagnies aériennes doivent alors trouver des volontaires pour renoncer à leur siège en échange d'une compensation financière ou d'un billet pour un autre vol.
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