Soit la suite définie pour n > 0 n > 0 par u n = sin ( n) n u_{n}=\frac{\sin\left(n\right)}{n}. On sait que pour tout n n, − 1 ⩽ sin ( n) ⩽ 1 - 1\leqslant \sin\left(n\right)\leqslant 1 donc − 1 n ⩽ sin ( n) n ⩽ 1 n - \frac{1}{n}\leqslant \frac{\sin\left(n\right)}{n}\leqslant \frac{1}{n}. Or les suites ( v n) \left(v_{n}\right) et ( w n) \left(w_{n}\right) définie sur N ∗ \mathbb{N}^* par v n = − 1 n v_{n}= - \frac{1}{n} et w n = 1 n w_{n}=\frac{1}{n} convergent vers zéro donc, d'après le théorème des gendarmes ( u n) \left(u_{n}\right) converge vers zéro. Soient deux suites ( u n) \left(u_{n}\right) et ( v n) \left(v_{n}\right) telles que pour tout n ∈ N n \in \mathbb{N}, u n ⩾ v n u_{n}\geqslant v_{n}. Si lim n → + ∞ v n = + ∞ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}v_{n}=+\infty, alors lim n → + ∞ u n = + ∞ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty
Une suite croissante et majorée est convergente. Suites et récurrence/Exercices/Suite récurrente — Wikiversité. Une suite décroissante et minorée est convergente. Ce théorème est fréquemment utilisé dans les exercices
Ce théorème permet de montrer qu'une suite est convergente mais, à lui seul, il ne permet pas de trouver la valeur de la limite l l
Un cas particulier assez fréquent est celui d'une suite décroissante et positive.
Exercice Récurrence Suite Du Billet
On note alors lim n → + ∞ u n = l \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=l
Suite convergeant vers l l
Une suite qui n'est pas convergente (c'est à dire qui n'a pas de limite ou qui a une limite infinie - voir ci-dessous) est dite divergente. La limite, si elle existe, est unique. Exercice récurrence suite c. Les suites définies pour n > 0 n > 0 par u n = 1 n k u_{n}=\frac{1}{n^{k}} où k k est un entier strictement positif, convergent vers zéro
On dit que la suite u n u_{n} admet pour limite + ∞ +\infty si tout intervalle de la forme] A; + ∞ [ \left]A;+\infty \right[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Les suites définies pour n > 0 n > 0 par u n = n k u_{n}=n^{k} où k k est un entier strictement positif, divergent vers + ∞ +\infty
Théorème (des gendarmes)
Si les suites ( v n) \left(v_{n}\right) et ( w n) \left(w_{n}\right) convergent vers la même limite l l et si v n ⩽ u n ⩽ w n v_{n}\leqslant u_{n}\leqslant w_{n} pour tout entier n n à partir d'un certain rang, alors la suite ( u n) \left(u_{n}\right) converge vers l l.
3- On conclut en invoquant le principe de récurrence. Pour ceux qui veulent aller plus loin (supérieur), cela peut s'écrire:
Concrètement dans les exercices, c'est la partie en bleu qu'on démontre et on conclut par la partie en rouge. III-Exemples:
Exemple 1:
Exercice: Montrer par récurrence que:
Puisqu'il s'agit d'un premier exemple, on va détailler (peut-être trop) en expliquant chaque étape. Exercice récurrence suite du billet. Nous exposerons ensuite une deuxième rédaction plus légère pour montrer comment bien rédiger un raisonnement par récurrence. Résolution étape par étape bien détaillée aux fins d'explication:
Il faut montrer par récurrence que pour tout
On pose pour cela:
Et puisqu'il s'agit des entiers appartenant à, le premier rang est car il est le premier élément dans l'ensemble
1- Initialisation: Pour
Donc la proposition est vraie. Remarques:
La somme veut dire qu'on additionne les nombres de à. Donc pour le cas, on additionne les nombres de à, ce qui implique que la somme vaut et pas. On peut écrire les sommes en utilisant le symbole de la somme qu'on exposera après dans le paragraphe suivant.
Exercice Récurrence Suite C
$v_n={n}/{n(1+{1}/{n})}={1}/{1+{1}/{n}}$. Et par là: $\lim↙{n→+∞}v_n={1}/{1+0}=1$.
donc est vraie. Conclusion: par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier. Correction de l'exercice 2 sur le terme d'une suite:
Si, on note:. Initialisation: Pour,
Donc est vraie. Hérédité: Soit donné tel que soit vraie. Suites et récurrence - Maths-cours.fr. On calcule d'autre part:
et on a donc prouvé que
On a démontré que est vraie. Pour démontrer une égalité de la forme, il est plus élégant de partir de pour arriver à. Lorsque cela vous paraît trop compliqué, vous pouvez comme ici, démontrer que et sont égales à la même quantité. Ce sera peut être ce que vous ferez pour démontrer passer de à, en écrivant l'égalité que vous devez prouver au rang en la simplifiant. 2. Somme de termes d'une suite et récurrence
Exercice 1 sur la somme de termes et récurrence:
Pour tout entier, on note
Pour tout, montrer que
Exercice 2 sur la somme de termes en terminale:
On note
et. Montrer que pour tout,. Correction de l'exercice 1 sur la somme de termes et récurrence:
On note pour
Initialisation: Si
Hérédité: Soit fixé tel que soit vraie.
Exercice Récurrence Suite Du
Résumé de cours Exercices Corrigés
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Exercices – raisonnements et récurrence MPSI, PCSI
1. 1. Manipulation des assertions et quantificateurs
Exercice 1
Soit une fonction de dans. Traduire en termes de quantificateurs les phrases suivantes:
1/ est majorée. 2/ n'est pas minorée
3/ est bornée. 4/ n'est ni paire ni impaire
5/ ne s'annule jamais
6/ est périodique
7/ est croissante
8/ est strictement décroissante
9/ n'est pas monotone
10/ n' est pas la fonction nulle
11/ ne prend pas deux fois la même valeur
12/ atteint toutes les valeurs de. Exercice 2
Si est une partie non vide de, traduire en français les propriétés suivantes:
Question 1. Question 2
est une partie non vide de vérifiant. Exercice 3
Que dire de vérifiant
a)
b)? Exercice récurrence suite du. Exercice 4
Quelles sont les fonctions vérifiant
b)
Exercice 5
Soit et
Traduire avec des quantificateurs
a) sont réels non nuls. b) sont réels non tous nuls
c) est une famille de réels contenant au moins un 0
d) est une famille de réels contenant un seul 0.
Exemple d'utilisation du raisonnement par récurrence - somme suite géométrique - YouTube
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