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Suite arithmético-géométrique
Définition: on dit qu'une suite ( u n) est une suite arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b tels que u 0 étant donné, on a pour tout entier n: u n +1 = au n + b.
On peut donc calculer chaque terme d'une suite arithmético-géométrique en utilisant les coefficients a et b et le terme précédent. Exemple: en 2000 la population d'une ville était de 5 200 habitants. Chaque année la population augmente de 2% mais 150 habitants quittent la ville. On note u 0 le nombre d'habitants en 2000, et u n le nombre d'habitants en 2000 + n. Démontrer que la suite ( u n) est une suite arithmético-géométrique. Démontrer qu une suite est arithmetique. On sait qu'une augmentation de 2% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 2% = 1, 02. On a u 0 = 5 200 et pour tout entier n: u n +1 = 1, 02 u n −150. La suite ( u n) est donc une suite arithmético-géométrique. Cas particuliers:
si b = 0 et a est différent de 0, alors la suite est une suite géométrique de raison a;
si a = 1, alors la suite est une suite arithmétique de raison b.
VOIR EXERCICES SUITES
Montrer Qu&Rsquo;Une Suite N&Rsquo;Est Pas Arithmétique Ou Géométrique | Méthode Maths
Exemple corrigé Soit la suite arithmético-géométrique suivante: \begin{array}{l}
u_0 = 5 \\
\forall n \in \N, \ u_{n+1}=2u_n + 1
\end{array} Exprimer u n en fonction de n. Résolution: On cherche d'abord un point fixe: \begin{array}{l}
l=2l +1\\
\Leftrightarrow l = -1
\end{array} On va donc poser \forall n \in \N, v_n = u_n + 1 v n est alors une suite géométrique de raison a = 2. On a donc: v_n = 2^n v_0=2^n(u_0+1) = 6\times 2^n Et finalement, on obtient u n: \begin{array}{l}
u_n = v_n-1 \\
u_n= 6\times 2^n -1
\end{array} Et pour résoudre les suites arithmético-géométriques, c'est toujours cette méthode! Démontrer qu une suite est arithmétique. Il faut juste faire attention que ce n'est pas juste une suite arithmétique ou une suite géométrique. Exercices Exercice 1 – Issu du bac Liban ES/L 2013 On considère la suite (u n) définie par u 0 =10 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0, 9u n + 1, 2 On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n par v n = u n -12 Démontrer que la suite (v n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Montrer Qu'Une Suite Est Arithmétique Et Donner Sa Raison - Forum Mathématiques
u n = u 0 × q n u_{n}=u_{0}\times q^{n}. Réciproquement, soient a a et b b deux nombres réels. La suite ( u n) \left(u_{n}\right) définie par u n = a × b n u_{n}=a\times b^{n} suite est une suite géométrique de raison q = b q=b et de premier terme u 0 = a u_{0}=a. u n + 1 = a × b n + 1 = a × b n × b = u n × b u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b
u 0 = a × b 0 = a × 1 = a u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a
Soit ( u n) \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q > 0 q > 0 et de premier terme strictement positif:
Si q > 1, la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est strictement croissante
Si 0 < q < 1, la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est strictement décroissante
Si q=1, la suite ( u n) \left(u_{n}\right) est constante
Remarques
Si le premier terme est strictement négatif, le sens de variation est inversé. Démontrer qu une suite est arithmétiques. Si la raison est strictement négative, la suite n'est ni croissante ni décroissante. Pour tout entier n ∈ N n \in \mathbb{N} et tout réel q ≠ 1 q\neq 1
1 + q + q 2 +... + q n = 1 − q n + 1 1 − q 1+q+q^{2}+... +q^{n}=\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}
Cette formule n'est pas valable pour q = 1 q=1.
S'il existe un réel r, tel que ∀ n ∈ N, u n+1 - u n = r. Donc, la suite u n est une suite arithmétique. On précise évidemment la valeur de sa raison r (le résultat de la différence calculée précédemment) et de son premier terme (en général u 0). ∀ n ∈ N, u n+1 - u n = 4 ∈ R. Attention Lorsque l'on montre que u n+1 - u n = r, la raison r doit être un réel qui ne dépend pas de n. Montrer qu’une suite n’est pas arithmétique ou géométrique | Méthode Maths. Donc, la suite u n est arithmétique de raison r = 4 et de premier terme: u 0 = (0 + 2)² - 0² = 4. Donner l'écriture explicite de u n Si u n est arithmétique de raison r et de premier terme u 0, alors: ∀ n ∈ N, u n = u 0 + nr De façon générale, si le premier terme est u p, alors: ∀ n ≥ p, u n = u p + ( n - p) r Comme u n est arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u 0 =4, alors ∀ n ∈ N, un= u 0 + nr. Ainsi, ∀ n ∈ N: u n = 4 + 4 n u n = 4( n + 1)