di1 = r1. dr1
cos i2. di2 = r2. dr2
En éliminant dr1, dr2 = − dr1 et di2, il vient:
Cette expression s'annule si cos r2 = cos r1. En élevant
au carré et en remplaçant cos² i par (1 − sin² i), on tire
Comme N est supérieur à 1 le premier terme ne peut être nul. Il faut sin² i1 = sin² i2
Soit i2 = ± i1. La solution i2 = − i1 a été introduite par l'élévation au carré. La déviation est minimum si i2 = i1 = i0 et donc r2 = r1 = r0. Le trajet du rayon est alors symétrique par rapport au plan médiateur du dièdre du prisme.. Mesure de l'indice d'un prisme
Soit Δ l'angle de déviation minimum. On a Δ = 2. i0 − A → i0 = (A + Δ) / 2 or r0 = A / 2
On tire: Si on mesure A et Δ avec un goniomètre de précision, il est possible de déterminer l'indice avec une incertitude de l'ordre de 10 −5. Stigmatisme du prisme On considère un prisme de petit angle A soit incidence faible. Optique Géométrique. Avec ces hypothèses, on a i1 = N. r1 et i2 = N. r2 et D = i1 + i2 − A = N(r1 + r2) − (r1 + r2) = (N − 1). A
Un tel prisme donne d'un point source une image virtuelle dévié d'un angle D =
(N − 1).
Optique Géométrique Prise De Sang
On considère un prisme isocèle rectangle. Le rayon incident rentre perpendiculairement à un
côté de l'angle droit se refléchi totalement su l'hypoténuse
et sort perpendiculairement à l'autre côté de
l'angle droit. a) Montrer que l'angle i mesure 45 o.
b) A quelle relation doit satisfaire l'indice n du prisme
pour que l'on se trouve dans le cas d'une réflexion totale? c) Comment se comporte alors le prisme? d) Quel sera la position du prisme pour qu'il renvoye
la lumière en sens inverse. a) Les angles à la base d'un triangle isocèle rectangle
valent 45 o chacun. Donc la normale fait un angle de 45 o avec
le côté horizontal du triangle isocèle rectangle. Cet angle est le complémentaitre de l'angle i. Ainsi
i mesure 45 o.
b) Pour qu'il y ait réflexion totale il faut deux conditions:
n > n_air et i > ic ( angle critique). Optique géométrique prise de sang. La fonction sinus est croissante dans [0, π/2], don
sin i > sin ic
Nous avons: sin ic = n_air/n
( voir démonstration):
sin i > n_air/n
n > n_air/sin i = 1/sin 45 1/(√2 /2) = √2 = 1.
Optique Géométrique Prise En Main
Le rayon incident est dévié par le prisme d'un angle égal à D = (i1 − r1) + (i2 − r2). La quadrilatère AKLJ ayant deux angles droits en K et J, on en déduit que A = r1 + r2. On en déduit les relations suivantes:
Il n'y a un rayon émergeant que si r2 est inférieur à l'angle de réfraction limite. La somme r1 + r2 étant constante, il existe une valeur minimum im de i1 qui autorise la présence d'un rayon émergeant. Minimum de déviation
Avec un goniomètre, on effectue le tracé point par point de la courbe de déviation D = f ( i1) pour un prisme d'indice N = 1, 5 et d'angle A = 60 °. Le point A correspond à l'incidence minimum im pour laquelle existe un rayon émergeant. L'angle i2 vaut alors 90°. Au point B (incidence rasante), l'angle i2 est égal à im. Pour les points A et B, la déviation est maximum. D'après le principe du retour inverse de la lumière, il existe deux valeurs de i1 (et donc de i2) qui donnent la même déviation. Quand i1 = i2, la déviation est minimum. Séquence pédagogique - Le prisme en optique géométrique. En utilisant les formules du prisme, on peut retrouver cette propriété:
La déviation est minimum si dD / di1 = 0.
dD = di1 + di2
dr1 + dr2 = 0
cos i1.
Optique Géométrique Prise En Charge
Nous avons
la somme:
(39. 107)
Maintenant que la situation est posée passons la partie optique... Nous avons quatre relations fondamentales démontrer pour le
prisme. D'abord, nous avons au point d'incidence I et I '
la loi de Descartes qui nous permet d'écrire:
(39. 108)
Comme l'indice de réfraction de l'air est de 1 alors nous avons
simplement en I:
(39. 109)
Dans la mme idée en I ' nous avons:
(39. 110)
Donc:
(39. 111)
Nous avons aussi la relation:
(39. 112)
Soit:
(39. 113)
L'angle de déviation D est facile déterminer. Il suffit
de prendre le quadrilatère central:
(39. Prismes. 114)
(39. 115)
Nous avons donc les 4 relations fondamentales du prisme:
(39. 116)
Connaissant i et i ' et l'indice de réfraction m nous
pouvons alors déterminer tous les paramètres. L'idéal serait encore de pouvoir se débarrasser de la connaissance
expérimentale de i '. Nous avons donc:
(39. 117)
Or:
(39. 118)
Ainsi il vient:
(39. 119)
(39. 120)
Puisqu'il est avéré que l'indice m d'un milieu varie avec
la longueur d'onde on comprend aisément que le prisme est capable
de disperser la lumière blanche.
Optique Géométrique Prisme
Un prisme est constitué par deux dioptres formant un dièdre. L'angle du dièdre A est l'angle du prisme. L'arête du dièdre est l'arête du prisme. En général le prisme est fermé par un plan opposé à l'arête qui constitue sa base. Un plan normal est un plan de section principale. On suppose que le prisme est placé dans l'air, que son indice est N > 1 et que la lumière utilisée est monochromatique. On se place dans un plan de section principale. Un rayon incident arrive sur le dioptre d'entrée en J avec une incidence i1. Avec nos hypothèses, le rayon pénètre dans le prisme et se réfracte avec une émergence r1. Il arrive en K sur le dioptre de sortie avec une incidence r2. Optique géométrique prise en main. JK est dans le plan de section principale. Si r2 est supérieur à l'angle de réfraction limite, il y a réflexion totale sur cette face et il n'y a pas de rayon émergeant. Si r2 est inférieur à cet angle, il existe un rayon émergeant faisant l'angle i2 avec la normale au dioptre en K et contenu dans le plan de section principale.
Je rappelle l'expression analogue qui avait été obtenue sans faire d'approximation pour faire réaliser aux étudiants que cette dernière était beaucoup plus complexe que celle qui vient d'être développée. Synthèse
Je questionne les étudiants à savoir quelles sont les trois équations les plus importantes qui ont été vues durant ce cours. Je leur demande de me citer les trois conditions d'émergence d'un prisme. Optique géométrique prisme. Présentaton du devoir
Suite à ce cours, les étudiants doivent effectuer la tâche faisant appel aux TIC, qui est décrite plus en détail ici. Modes et moments d'évaluation
L'ensemble du contenu de ce cours est évalué formativement par le biais de l'activité qui est présentée à la fin du cours. Celle-ci se veut un travail de préparation en vue du prochain examen sommatif, comptant pour 25% de la note finale. Cet examen porte sur six chapitres alors que la période décrite sur ce site traite d'un seul de ceux-ci. Il est donc réaliste de présenter six problèmes à développement aux étudiants lors de cet examen, dont un qui fait appel à ce qui vient d'être décrit.
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Une pelouse est dite de petite surface lorsqu'elle fait moins de 600 mètres carrés. Il existe donc des tondeuses robots spécialement destinés à la tonte des petits jardins. Il est conseillé de prendre le temps de voir si le modèle qui vous intéresse est capable de couvrir efficacement votre surface de gazon. Quels robots tondeuses choisir pour un petit jardin? Si votre jardin est de petite taille, pourquoi ne pas l'entretenir vous-même? Cependant nous n'avons pas toujours le temps ni même l'envie de consacrer son temps libre à l'entretien de son extérieur. Pour de nombreux Français cette tache s'apparente plus à une corvée. De plus, il faut bien reconnaître que la précision de la tonte par un robot est nettement supérieure à celle atteinte notre propre main. Le robot vous évite également de vous débarrasser des déchets que produit la tonte de votre gazon. Robot tondeuse pour terrain difficile à gérer. En effet, les robots tondeuse sont associés à la technique dite du paillage: l'ensemble de ce qui est découpé retombe alors sur le sol en petits morceaux, le paillis, et vient fournir un engrais et fortifiant naturel.