Deux points admettant des voisinages disjoints. En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Cette condition est aussi appelée axiome T 2 au sein des axiomes de séparation. Unite de la limite tv. L'appellation fait référence à Felix Hausdorff, mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la topologie, qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique. Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou ce qui revient au même: de toute suite généralisée convergente). Exemples et contre-exemples [ modifier | modifier le code]
Tout espace métrique est séparé. En effet, deux points situés à une distance L l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les boules de rayon L /3 centrées sur chacun d'eux. Tout espace discret est séparé, chaque singleton constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non dénombrable est séparé et non séparable.
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On en déduit que la
suite u tend vers +∞. b. Suite croissante et non minorée
La suite u est minorée si, et
pour tout n, u n ≥ M. M
étant un minorant de la suite. Théorème Unicité de la limite. minorée si, et seulement si, quelque soit le
u n ≤ M. Si u est une suite décroissante et non
minorée, alors u tend vers -∞. Vous avez déjà mis une note à ce cours. Découvrez les autres cours offerts par Maxicours! Découvrez Maxicours
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Soutien maths - Limite d'une suite
Cours maths 1ère S
Limite d'une suite
Achille et la tortue
La notion de limite d'une suite a permis de comprendre un paradoxe imaginé par le philosophe grec Zénon d'Elée environ 465 ans avant Jesus-Christ: le paradoxe d'Achille et de la tortue. "Pour une raison maintenant oubliée dans les brumes du temps, une course avait été organisée entre le héros Achille et une tortue. Le premier se déplaçant beaucoup plus vite que la econde, celle-ci démarra avec une certaine avance pour équilibrer les chances des deux concurrents…"
« … La première chose à faire pour Achille fût de combler son retard en se rendant à l'endroit de départ de la tortue qui, pendant ce laps de temps, s'était déplacée. Unite de la limite sur. Achille dut donc combler ce nouvel handicap alors que la tortue, bien que d'une lenteur désespérante, continuait inexorablement sa route, créant ainsi un handicap supplémentaire... Battu et furieux, Achille exigea une revanche mais rien n'y fit, ni la longueur de la course, ni la vitesse de déplacement d'Achille.
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Énoncé Toute suite convergente admet nécessairement une seule et unique limite. Définition utilisée Définition de la convergence d'une suite: Lemme utilisé Inégalité triangulaire ( Demonstration) Démonstration Soit une suite convergente. Preuve : unicité de la limite d'une fonction [Prépa ECG Le Mans, lycée Touchard-Washington]. Supposons que admet deux limites et , montrons que : Soit , par hypothèse, en utilisant la définition de la convergence d'une suite : Posons . Nous avons donc : Utilisons l'inégalité triangulaire sur : Conclusion Toute suite convergente réelle admet une seule et unique limite.
Vocabulaire et
notation
Si une suite admet pour limite le nombre réel
I on dit qu'elle est convergente vers I (ou
qu'elle converge vers I ou qu'elle tend vers
I). On note: ou lim u = I. Théorème
1
La limite d'une suite est unique. 2
Les suites,
où k est un entier positif non nul, convergent
vers 0. 2. Limites infinies de suites
Dire que la suite u a pour limite +∞
signifie que tout intervalle de la forme [ A;
+∞[, où A est un réel,
contient tous les termes de la suite à partir d'un
certain rang. On note: lim u =
+∞ ou
Dire que la suite u a pour limite -∞
signifie que tout intervalle de la forme]-∞;
B [, où B est un réel,
certain rang. On note: lim u = -∞
ou. Limite d'une suite - Cours maths 1ère - Tout savoir sur la limite d'une suite. Exemple: Soit la suite u telle que,
pour tout n ∈,
u n = 4 n 2 + 1. Soit I = [ A; +∞[. Démontrons qu'à partir d'un certain rang,
tous les termes de la suite sont dans l'intervalle
I. Si n ≥ alors
n 2 > A et 4 n 2
+ > n 2 > A, donc
Si N est le plus petit entier tel que N ≥, à
partir du rang N, tous les termes de la suite
u sont dans l'intervalle I. lim u =
+∞.
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