On pose $y(t)=x(t)/x_p(t)$. Alors la fonction $y'$ est solution d'une équation différentielle
du premier ordre. On peut résoudre cette équation différentielle, pour déterminer $y'$, puis $y$ (voir cet exercice).
Exercices Équations Différentielles Ordre 2
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Exercices Équations Différentielles Terminale
Le tableau ci-dessous donne les solutions de l'équation en fonction du discriminant \triangle ={ b}^{ 2}-4ac
3- Problème de Cauchy – II
Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du second ordre à coefficients constants admet une unique solution.
Exercices Équations Différentielles Y' Ay+B
Equations différentielles: Cours-Résumés-Exercices corrigés
Une équation différentielle est une équation:
1- Dont l'inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y);
2- Dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y', ou dérivées d'ordres supérieurs \quad { y}^{ \prime \prime}, { y}^{ (3)}, …\quad
Une équation différentielle d'ordre n est une équation de la forme:
f(x, y, { y}^{ \prime}, …, { y}^{ (n)})=0
où F est une fonction de (n + 2) variables.
Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1
Si on doit résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1, $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$, alors
on commence par chercher les solutions de l'équation homogène $y'(x)+a(x)y(x)=0$. Soit $A$ une primitive de la fonction $a$. Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-A(x)}$,
$\lambda$ une constante réelle ou complexe. on cherche alors une solution particulière de l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$,
soit en cherchant une solution évidente;
soit, si $a$ est une constante, en cherchant une solution du même type que $b$ (un polynôme si $b$ est un polynôme,... Exercices équations différentielles y' ay+b. ). soit en utilisant la méthode de variation de la constante: on cherche une solution sous la forme $y(x)=\lambda(x)y_0(x)$, où
$y_0$ est une solution de l'équation homogène. On a alors
$$y'(x)=\lambda'(x)y_0(x)+\lambda(x)y_0'(x)$$
et donc $$y'(x)+a(x)y(x)=\lambda(x)(y_0'(x)+a(x)y_0(x))+\lambda'(x)y_0(x). $$
Tenant compte de $y_0'+ay_0=0$, $y$ est solution de l'équation $y'+ay=b$ si et seulement si
$$\lambda'(x)y_0(x)=b(x).
3- Problème de Cauchy – I
Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du premier ordre admet une unique solution.
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