$
Intégrer cette équation pour en déduire l'expression de $f$. En déduire les solutions de l'équation initiale. Enoncé On souhaite déterminer les fonctions $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$, de classe $C^1$, et vérifiant:
$$\forall (x, y, t)\in\mathbb R^3, \ f(x+t, y+t)=f(x, y). $$
Démontrer que, pour tout $(x, y)\in\mathbb R^2$,
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=0. $$
On pose $u=x+y$, $v=x-y$ et $F(u, v)=f(x, y)$. Démontrer que $\frac{\partial F}{\partial u}=0$. Conclure. Enoncé Chercher toutes les fonctions $f$ de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$ vérifiant
$$\frac{\partial f}{\partial x}-3\frac{\partial f}{\partial y}=0. $$
Enoncé Soit $c\neq 0$. Chercher les solutions de classe $C^2$ de l'équation aux dérivées partielles suivantes
$$c^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}, $$
à l'aide d'un changement de variables de la forme $u=x+at$, $v=x+bt$. Enoncé Une fonction $f:U\to\mathbb R$ de classe $C^2$, définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$, est dite harmonique si son laplacien est nul, ie si
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0.
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Dérivées partielles, Dérivées suivant un vecteur
Enoncé Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes, et les calculer. $f(x, y)=e^x\cos y. $
$f(x, y)=(x^2+y^2)\cos(xy). $
$f(x, y)=\sqrt{1+x^2y^2}. $
Enoncé Soit $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. On définit $g:\mathbb R\to\mathbb R$ par $g(t)=f(2+2t, t^2)$. Démontrer que $g$ est $C^1$
et calculer $g'(t)$ en fonction des dérivées partielles de $f$. On définit $h:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par $h(u, v)=f(uv, u^2+v^2)$. Démontrer que $h$ est
$C^1$ et exprimer les dérivées partielles $\frac{\partial h}{\partial u}$ et $\frac{\partial h}{\partial v}$ en
fonction des dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$. Enoncé Soit $f$ une application de classe $C^1$ sur $\mtr^2$. Calculer les dérivées (éventuellement partielles) des fonctions suivantes:
$g(x, y)=f(y, x)$. $g(x)=f(x, x)$. $g(x, y)=f(y, f(x, x))$. $g(x)=f(x, f(x, x))$. Enoncé On définit $f:\mathbb R^2\backslash\{(0, 0)\}\to\mathbb R$ par
$$f(x, y)=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/4}}.
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\mathbf 3. \left\{
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&x^2y\\[3mm]
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&xy^2. Dérivées partielles d'ordre supérieur
Enoncé Calculer les dérivées partielles à l'ordre 2 des fonctions suivantes:
$f(x, y)=x^2(x+y)$. $f(x, y)=e^{xy}. $
Enoncé Pour $(x, y)\neq (0, 0)$, on pose $$f(x, y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}. $$
$f$ admet-elle un prolongement continu à $\mathbb R^2$? $f$ admet-elle un prolongement $C^1$ à $\mathbb R^2$? $f$ admet-elle un prolongement $C^2$ à $\mathbb R^2$? Enoncé Soit $f$ une application de classe $C^1$ de $\mtr^2$ dans $\mtr$ et $r\in\mtr$. On dit que $f$ est homogène de degré $r$ si
$$\forall (x, y)\in\mtr^2, \ \forall t>0, \ f(tx, ty)=t^rf(x, y). $$
Montrer que si $f$ est homogène de degré $r$, alors ses dérivées partielles sont homogènes de degré $r-1$. Montrer que $f$ est homogène de degré $r$ si et seulement si:
$$\forall (x, y)\in\mtr^2, \ x\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=rf(x, y).
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$$
Justifier que l'on peut prolonger $f$ en une fonction continue sur $\mathbb R^2$. Étudier l'existence de dérivées partielles en $(0, 0)$ pour ce prolongement. Enoncé Pour les fonctions suivantes, démontrer qu'elles admettent une dérivée suivant tout vecteur en $(0, 0)$ sans pour autant y être continue. $\displaystyle f(x, y)=\left\{
\begin{array}{ll}
y^2\ln |x|&\textrm{ si}x\neq 0\\
0&\textrm{ sinon. } \end{array}
\right. $
$\displaystyle g(x, y)=\left\{
\frac{x^2y}{x^4+y^2}&\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\\
Fonction de classe $C^1$
Enoncé Démontrer que les applications $f:\mtr^2\to\mtr$ suivantes sont de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$. $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^2y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$;
$\displaystyle f(x, y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$. Enoncé Les fonctions suivantes, définies sur $\mathbb R^2$, sont-elles de classe $C^1$? $\displaystyle f(x, y)=x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$;
$\displaystyle f(x, y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$;
$\displaystyle f(x, y)=e^{-\frac 1{x^2+y^2}}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$.
[ édité le 3 novembre 2017. Enoncés. 1. Dérivées
partielles de fonctions composées. Exercice 1 [ 01749] [Correction]. Soit f: R2? R différentiable. On pose g: R? R définie par g(t) = f(2t, 1 + t2). Exprimer g (t) en
fonction des dérivées partielles de f. Exercice 2 [ 02903] [Correction]. Soient (x1... MATHS: PRÉRENTRÉE Exercices d'algèbre... - Année 2017/2018. MATHS: PRÉRENTRÉE. Exercices d' algèbre linéaire. EXERCICE 1. Les étudiants achètent leurs livres pour le nou- veau semestre. Eddy achète le.... 1 3 0 0. 0 0 1 2. 0 0 2 5. 3. 7. 5. EXERCICE 6. Parmi les
applications de R3 dans R3 qui suivent, lesquelles sont linéaires? (Le vec- teur h
y1 y2. Feuille d'exercices 3 Dérivées partielles et directionnelles Éléments de calcul différentiel. Responsable: S. De Bi`evre. Feuille
d' exercices 3. Dérivées partielles et directionnelles. Exercice 1. Déterminer, pour
chacune des fonctions suivantes, leur domaine de définition. Puis, calculer leurs
dérivées partielles, en chaque point de leur domaine, lorsqu'elles existent:.
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ETUDE DE LA PHYTOCHIMIE ET
DES... Phytochimie EXERCICE CORRIGé TD DE PHYTOCHIMIE PDF. Wed, 27 Dec 2017 18:53:00
GMT examen de tp/td de l'année 2011 (nominatif!!! ) (format pdf) phytochimie. mai
2011 (30 minutes). sujet n°4. responsable: m. francois. les deux exercices sont à... LE SITE OFFICIEL DU DESMODIUM ADSCENDENS DU DOCTEUR... Description READ DOWNLOAD - -. Thu, 22 Mar
2018 10:10:00 GMT - Examen de TP/TD de l'année 2011 (Nominatif!!! ) (format
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Francois. Les deux exercices sont à traiter. exercice corrigé TD de phytochimie
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Je suis les yeux et le coeur si plein et!!!! mes émotions sont juste!!! ce qui est exactement comment un critique professionnel résumerait un livre. Dernière mise à jour il y a 1 heure 21 mins Sabrina Blondeau C'ÉTAIT TOUT CE QUE JE VOULAIS ÊTRE ET PLUS. Honnêtement, j'ai l'impression que mon cœur va exploser. J'ADORE CETTE SÉRIE!!! C'est pur ✨ MAGIC Dernière mise à jour il y a 1 heure 47 minutes
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