Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=-4u_n$ et $u_n=5\times (-4)^n$. Pour chacun des points de la propriété la réciproque est vraie. – Si pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=q\times u_n$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$. – Si pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=u_0 \times q^n$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$. Si le premier terme de la suite géométrique n'est pas $u_0$ mais $u_1$ on a, pour tout entier naturel $n$ non nul $u_n=u_1\times q^{n-1}$. La propriété suivante permet de généraliser aux premiers termes $u_{n_0}$. Arithmétique, Exercices de Synthèse : Exercice 27, Correction • Maths Expertes en Terminale. Propriété 2: On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$. Pour tout entier naturel $n$ et $p$ on a $u_p=u_n\times q^{p-n}$. Exemple: On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $2$ telle que $u_3=4$. Alors, par exemple:
$\begin{align*} u_{10}&=u_3\times 2^{10-3}\\
&=4\times 2^7 \\
&=512\end{align*}$
Remarque: Cette propriété permet de déterminer, entre autre, la raison d'une suite géométrique dont on connaît deux termes.
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Calculer u 7. Réponse:
D'après la deuxième formule, u 7 = u 0 × q 7 = 4 × 3 7 = 4 × 2187 = 8748. 2) Soit v la suite géométrique de raison q= 1 2 telle que u 6 =512. Calculer u 9. Réponse:
D'après la première formule, u 9 = u 6 × q 9-6 = 512 × ( 1 2) 3 = 512 × 1 8 = 64. Somme des termes d'une suite géométrique:
I) Somme des puissances successives:
Pour tout entier naturel n non nul, si q ≠ 1, on a:
1 + q + q 2 +... + q n = 1 - q n+1 1 - q. Démonstration:
On écrit sur une ligne la somme des termes dans l'ordre croissant, puis sur une seconde ligne, on écrit le produit de cette somme par q et on soustrait membre à membre les deux égalités. S
=
1
+
q
q 2
+...
q n
qS
q n+1
S -
0
-
Donc S(1-q) = 1 - q n+1 et comme q ≠ 1, S = 1 - q n + 1 1 - q. Exemple:
S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +... Suites arithmétiques et géométriques - Maths-cours.fr. + 2 8
S = 1 - 2 9 1 - 2
S = 1 - 512 -1 = 511. II) Somme des termes d'une suite géométrique:
Soit u une suite géométrique. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique est égale à:
S = premier terme × 1 - q nombre de termes 1 - q.
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Définition:
Dire qu'une suite u est géométrique signifie qu'il existe un nombre q tel que, pour tout entier naturel n, u n+1 = q × u n. Le nombre q est appelé la raison de la suite (u n). Autrement dit, on passe d'un terme d'une suite géométrique au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre q. Exemples:
1) La suite 1, 2, 4, 8, 16, 32,... est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2
2) La suite v définie pour tout n appartenant à ℕ par v n = 1 2 n: 1, 1 2, 1 4, 1 8,... Cours maths suite arithmétique géométrique pour. est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1 2
3) Soit w la suite définie pour tout entier naturel n par w n = 2 × 3 n.
w n+1 = 2 × 3 n+1 = 2 × 3 n × 3 = w n × 3
De plus w 0 = 2, donc w est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3. Formule explicite:
Pour calculer un terme d'une suite géométrique avec la définition par récurrence, il est nécessaire de connaître le terme précédent. La propriété suivante permet de trouver une formule explicite. Si u est une suite géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n et p:
u n = u p × q n-p
Illustration
En particulier, si p = 0, pour tout entier naturel n, on a:
u n = u 0 × q n
1) Soit u la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u 0 =4.
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Cours de Terminale sur les suites arithmétiques et géométriques – Terminale Suites arithmétiques Définition La suite u est arithmétique si, et seulement si, il existe un réel r tel que pour tout n, c'est-à-dire Soit une suite arithmétique de raison r. Cours maths suite arithmétique géométrique de la. Pour tous entiers naturels n: La suite u est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout n, Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique: Variations et limites Si r > 0, alors la suite arithmétique est croissante et diverge vers Si r < 0; alors la suite arithmétique est décroissante et diverge vers. Suites géométriques Définition La suite u est géométrique si, et seulement si, il existe un réel q tel que pout tout n, c'est-à-dire Soit une suite géométrique de raison q non nulle. Pour tous entiers naturels n: La suite u est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout n, Variations et limites Une suite géométrique de premier terme: Converge vers 0 si – 1 < q < 0 (elle n'est ni croissante ni décroissante). Décroissante et converge vers 0 si 0 < q <1.
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Si \(q\leqslant -1\), la suite \((u_n)\) n'admet aucune limite, finie ou infinie. Si \(q>1\), alors \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si \(u_0>\), vers \(-\infty\) si \(u_0<0\)
Exemple: Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(u_n=3, 2 \times 0, 94 ^n\). La suite \(u_n\) est géométrique, de premier terme \(u_0=3, 2\) et de raison \(q=0, 94\). Puisque \(u_0 > 0\) et \(0 < q < 1\), la suite \((u_n)\) est décroissante. Suites arithmétiques et géométriques - Terminale - Cours. De plus, sa limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) vaut 0. Soit \(n\in\mathbb{N}\) et \(q\) un réel différent de 1. Alors,
\[1+q+q^2+\ldots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
ce que l'on peut également écrire
\[\sum_{k=1}^n q^k =\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
Démonstration Notons \(S=1+q+q^2+\ldots +q^n\). Nous allons calculer \(S-qS\)
&S & = & 1 & + & q & + & q^2 & +& \ldots & + & q^n \\
-&qS & = & & & q & + & q^2 & +& \ldots & + & q^n &+ & q^{n+1}\\
&S-qS & = &1& & & & & & & &&-&q^{n+1} \end{matrix}\]
Ainsi \(S-qS=1-q^{n+1}\), c'est-à-dire \((1-q)S=1-q^{n+1}\). Puisque \(q\) est différent de 1, on peut diviser par \(1-q\).
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