6/ Déplacements
Si une transformation f est un déplacement alors:
f est soit une translation soit une rotation d'angle non nul. f déplacement est une similitude directe de rapport 1, donc f s'écrit: z' = az + b avec lal = 1
Et nous avons montré que:
- si a = 1: alors f est la translation de vecteur d'affixe b.
Et il est à remarquer que:
- si b ≠ 0: f n'admet
aucun point fixe. - si b = 0: f = Id et
tout point du plan est fixe..
- si a ≠ 1: alors a s'écrit a = ei 0 avec 0 non nul car a ≠ 1.
f admet alors un
unique point fixe d'affixe
f = r o h avec r = r (; 0) et h = h (; lal). Concours INFAS Privé 2022, Voici Les Documents à Fournir Et Les Conditions à Remplir Pour S'inscrire | EspaceTutos™. Or: h = Id donc f = r. Dans ce cas là, f est donc une rotation d'angle non nul. Conséquence:
Un déplacement admettant un point fixe est soit l'identité, soit une rotation d'angle non nul. En effet, d'après le listage fait lors de la démonstration du théorème: - soit f est un déplacement admettant un unique point fixe auquel cas il s'agit d'une rotation d'angle non nul. - soit f est un déplacement avec plus d'un point fixe auquel cas il s'agit de l'identité.
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similitude directe toute similitude qui conserve les angles orientés. Une isométrie directe est appelée
un déplacement. L'identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales
sont des similitudes directes. similitude indirecte toute similitude qui transforme tout angle en son opposé. Une isométrie indirecte est appelée un
anti-déplacement. Les réflexions sont des similitudes indirectes
2/ Angle d'une similitude directe
Propriété:
Si s est une similitude directe alors:
quels que soient les points distincts A et B du plan, d'images respectives A' et B',
l'angle est constant. Cet angle est appelé
angle de la similitude. Faites Vos Publicités Sur Espacetutos.com | EspaceTutos™. Démonstration:
Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d'images respectives A', B', C' et D'. Or, s similitude directe conserve les angles orientés,
donc: On a donc:
L'angle entre un vecteur et son vecteur image est bien constant. - les translations, l'identité et les homothéties de rapport k >0 sont des similitudes d'angle nul. - les homothéties de rapport k et les symétries centrales sont des similitudes d'angle.
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Soutien maths - Similitudes directes
Cours maths Terminale S
Après de brefs rappels concernant les similitudes en général, on choisit dans ce module de s'intéresser exclusivement au cas des similitudes directes. 1/ Rappels
On appelle
similitude ( plane) toute transformation du plan qui conserve les rapports de distances. Théorème:
Une transformation du plan est une similitude si et seulement si elle multiplie les distances par un réel k,
strictement positif.. Ce réel k est appelé
le rapport de la similitude. L'identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales les symétries axiales, encore appelées réflexions, sont des similitudes. Attention! Maths : Nombres complexes et similitude directe du plan - cours et exemples corrigés - YouTube. Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport lkl
Une similitude de rapport 1 conserve les distances, elle est appelée
isométrie. L'identité, les translations, les rotations, les réflexions sont des isométries La symétrie centrale est un cas particulier de rotation, c'est donc une isométrie. Les similitudes conservent les angles géométriques.
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