6. Comment trouver la limite de lorsque et ont même limite et où? Hypothèses:, et
M1. On cherche un équivalent simple noté de lorsque tend vers. On note. On démontre que est prolongeable par continuité en. On détermine un intervalle contenant sur lequel est continue et on introduit une primitive de sur. On vérifie que lorsque tend vers et en écrivant,
on obtient
Il reste à trouver pour trouver la limite de en. Intégrale à paramétrer. exemple:
Limite en de. M2. On peut aussi chercher à encadrer et en déduire un encadrement de par deux fonctions ayant même limite. Exemple:
Appliquer une méthode d'encadrement à pour en retrouver la limite en. M3. Si est intégrable sur ou sur où ( est le domaine de continuité de), on note et on écrit. Quand tend vers, comme et admettent pour limite, admet pour limite lorsque tend vers. Trouver le domaine de définition et étudier la limite de aux bornes. 6. Calcul de la dérivée. Introduire une primitive de sur un intervalle à préciser et écrire; dériver alors les fonctions composées ainsi obtenues.
Intégrale À Parametre
Etude de fonctions définies par une intégrale
Enoncé On pose, pour $x\in\mathbb R$,
$$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}te^{-t}dt. $$
Justifier que $F$ est bien définie sur $\mathbb R$. Justifier que $F$ est $\mathcal C^1$ et donner une expression de $F'(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$. Calculer $F'(x)$. En déduire une expression simplifiée de $F(x)$. Enoncé On pose $f(x)=\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}dt$. Déterminer le domaine de définition de $f$. Démontrer que $f$ est continue sur son domaine de définition. Calculer $f(x)+f(x+1)$ pour tout $x>0$. En déduire un équivalent de $f$ en $0$. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Enoncé Pour $n\geq 1$ et $x>0$, on pose
$$I_n(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^n}. Intégrale à parametre. $$
Justifier l'existence de $I_n(x)$. Calculer $I_1(x)$. Démontrer que $I_n$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$ et former une relation entre $I'_n(x)$ et $I_{n+1}(x)$. En déduire qu'il existe une suite $(\lambda_n)$ telle que, pour tout $x>0$, on a
$$I_n(x)=\frac{\lambda_n}{x^{2n-1}}.
(Mais j'ai réfléchi vite fait, ça se trouve un truc m'a échappé. ) (Remarque: l'arc tangente n'est positif que si x est positif. ) - Edité par robun 17 avril 2017 à 2:08:14
17 avril 2017 à 9:31:36
J'ai effectivement penser à faire la majoration que tu as proposé, avec t -> \(\frac{\pi/2}{1+t^2}\) définie au sens de Riemann. Je ne vois pas pourquoi j'ai eu faux à la question (peut-être que quelque chose nous échappe? ) (Remarque: On majore le module de la fonction donc on doit pas faire trop gaffe si x est positif ou négatif je pense non? ) - Edité par JonaD1 17 avril 2017 à 9:36:31
17 avril 2017 à 9:33:46
précision:
La majoration proposée va prouver que l'intégrale existe pour tout \(x\) ( ce qu'il est nécessaire de faire) mais pas la continuité pour tout \(x\). Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles. Par exemple si on avait \(\arctan(\dfrac{t}{x})\) au numérateur, la même majoration existe... Le théorème de continuité des fonctions définies par une intégrale ajoute donc les conditions ( suffisantes) supplémentaires à vérifier:
- continuité par rapport à \(x\) de l'intégrande \(f(x, t)\)
-continuité par morceaux de \(f(x, t)\) par rapport à \(t\).
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l'essentiel
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