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Tracer Les Hauteurs D Un Triangle Isocele
C'est cette équation qui va nous permettre de trouver la hauteur de notre triangle [3]! 3
Coupez votre triangle équilatéral en deux. Prenons le triangle rectangle de droite. Il a trois côtés:, et. Ce dernier côté est le plus long, est opposé à l'angle droit et a comme longueur celle du côté du triangle de départ. a comme longueur la moitié du côté du triangle de départ et est la hauteur (). Pour le triangle de 8 cm de côté, si on le coupe en deux, on a un triangle rectangle avec et. 4 Faites l'application numérique avec l'équation de Pythagore. Pour trouver dans un premier temps, calculez les deux carrés ( et), puis ôtez de. Exemple: (application numérique) (calcul des carrés) (isolement de)
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Calculez. C'est en fait la hauteur du triangle. Vous avez trouvé et pour connaitre, il faut extraire la racine de (). Pour cela, sur votre calculatrice, tapez la valeur de, puis appuyez sur la touche √: le résultat est la hauteur de votre triangle équilatéral! Voyez les données que vous avez. On peut trouver la hauteur d'un triangle en ayant les trois côtés, ou seulement les longueurs des 2 côtés et l'angle qu'ils forment.
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Définition: dans un triangle, la hauteur d'un côté est la droite qui est perpendiculaire au côté et qui passe par le sommet opposé. On dit aussi la hauteur issue d'un sommet. Construction des hauteurs en trois étapes qui correspondent aux trois côtés d'un triangle ABC. • Le côté [BC]: le sommet opposé est alors le point A. On trace la droite perpendiculaire à la droite [BC] passant par A. On note H le point d'intersection entre la hauteur et la droite [BC]. On dit que H est le pied de la hauteur. • Le côté [AB]: le sommet opposé est alors le point C. On trace la droite perpendiculaire à la droite [AB] passant par C. On note L le pied de la hauteur. • Le côté [AC]: le sommet opposé est alors le point B. On trace la droite perpendiculaire à la droite [AC] passant par B. On note M le pied de la hauteur. Remarque: les trois hauteurs se coupent en un point que l'on nomme orthocentre du triangle.
Si le triangle $ABC$ a un angle obtus, l'orthocentre est à l'extérieur du triangle. Si le triangle $ABC$ est rectangle, son orthocentre est situé au sommet de l'angle droit. 3. Applications
Très souvent, ce théorème très important est utilisé pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires. En effet, si on se trouve dans un triangle $ABC$ et on démontre ou on sait que les les 2 hauteurs issues de $A$ et de $B$ se coupent en un point $O$, on en déduit que $O$ est l'orthocentre du triangle. Et, d'après ce théorème, la troisième hauteur est la droite passant par $O$ et le troisième sommet $C$. On peut donc conclure en disant que la droite $(CO)$ est la troisième hauteur du triangle $ABC$, donc $(CO)$ est perpendiculaire à $(AB)$. 4. Exercices résolus
Exercice 1. On considère un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$. Dans le triangle $OBC$, construire les deux hauteurs $(BH)$ et $(CP)$ issues de $B$ et $C$ respectivement. Elles se coupent en $I$. 1°) Démontrer que les droites $(OI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
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