Exemples de résolutions d'équations différentielles
1- Définition
Soient I un intervalle de R non réduit à un point. Les fonctions a (et, au besoin, b) sont continues sur I, à valeurs réelles. Alors y ′ ( t) + a ( t) y ( t) = 0 une équation différentielle linéaire, homogène, du premier ordre; et y ′ ( t)+ a ( t) y ( t) = b ( t) est une équation complète. Notons A une primitive sur I de a; les solutions de l'équation proposée sont les fonctions. 2- Sans second membre
2. 1 Exemple
Résolvons l'´equation différentielle: ici, a ( t) = 2, donc. Séance 10 - Équations et inéquations - AlloSchool. La solution générale de cette équation est donc. 3. 1 Exemple
Résolvons l'équation différentielle. Nous avons a ( t) = 2, donc
Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions. Il nous reste à déterminer une solution particulière; celle-ci est de la forme Il vient:
Ceci nous ramène au système échelonné, formé des trois équations 2 a = 1, 2( a + b) = − 2 et b + 2 c = 3. La résolution nous donne a = 1 / 2, b = − 3 / 2 et c = 9 / 4. La forme générale d'une solution est donc
3.
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Pour ce faire, l'équation doit d'abord utiliser le format x^{2}+bx=c. 2x^{2}+10x+12-12=-12 Soustraire 12 des deux côtés de l'équation. 2x^{2}+10x=-12 La soustraction de 12 de lui-même donne 0. \frac{2x^{2}+10x}{2}=\frac{-12}{2} Divisez les deux côtés par 2. x^{2}+\frac{10}{2}x=\frac{-12}{2} La division par 2 annule la multiplication par 2. x^{2}+5x=\frac{-12}{2} Diviser 10 par 2. x^{2}+5x=-6 Diviser -12 par 2. x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{5}{2}\right)^{2} DiVisez 5, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir \frac{5}{2}. Equation géométrie - forum de maths - 498876. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{2} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait. x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4} Calculer le carré de \frac{5}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction. x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4} Additionner -6 et \frac{25}{4}. \left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} Factoriser x^{2}+5x+\frac{25}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
Une solution particulière est obtenue facilement: c'est la solution
Finalement, la solution générale de l'équation différentielle est définie comme suit: si t < 0, alors y ( t) = λ t + t ²; si t > 0, alors y ( t) = μt + t ². Voyons si les deux ≪ morceaux ≫ peuvent
être raccord´es. Les solutions que nous venons de définir sont
continues, respectivement à gauche et à droite de 0; donc nous pouvons
prolonger y par continuité, en posant y (0) = 0. Il reste à obtenir la dérivabilité à gauche et à droite de 0: or celle-ci est obtenue en imposant λ = μ. Concluons: il existe des solutions sur I R, de la forme y ( t) = λ t + t ². 6. 3 Exemple
Résolvons l'équation différentielle Observons que l'équation est définie sur]0, + ∞ [. Equation dh 12 inches. La condition t > 0 nous est imposée. L'équation homogène s'écrit sa solution générale est Pour obtenir une solution particulière, il est raisonnable, au vu de l'équation, de prendre Alors
La solution générale est
Observons que la solution proposée tend vers 0 + avec t, donc y est prolongeable par continuité à droite de 0, en posant y (0) = 0.
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