Neuf exercices sur le calcul de dérivées (fiche 01)
Note: les exercices 5, 6 et 8 supposent connu le principe de récurrence. On pourra au besoin consulter l'article « Qu'est-ce qu'une preuve par récurrence? Exercice de math dérivée a place. »
Calculer les dérivées de chacune des fonctions suivantes:
Déterminer le sens de variations de la fonction:
Trouver toutes les applications dérivables vérifiant:
Montrer, par récurrence, que pour tout si sont toutes dérivables, alors est dérivable et:
Montrer, par récurrence, que si est dérivable et si est un entier naturel non nul, alors:
Calculer, sans développer ce polynôme, la dérivée de:
Trouver une formule pour la dérivée du produit de fonctions ( étant un quelconque entier supérieur ou égal à). Les courbes d'équations et se coupent en un point Montrer que la distance de à l'origine est inférieure à. Bien entendu, l'usage d'une calculette ou d'un ordinateur est prohibé 🙂
Cliquer ici pour accéder aux indications. Cliquer ici pour accéder aux solutions.
Exercice De Math Dérivée A Place
Soit C f la courbe représentative de f. Exercice de math dérivée definition. 1) Ecrire l'équation de la tangente au point x = -1 et x = 1 2) Les tangentes en -1 et 1 sont-elles parallèles? Exercice 4 Soit f définie par f\left(x\right)\ =\ \frac{-x^2+2x-1}{x} On note C sa courbe représentative 1) Déterminer les abscisses de la courbe C pour lesquels la tangente est horizontale 2) Existe-t-il des points pour lesquels la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2? Exercice 5 Voici quelques dérivées complexes à calculer \begin{array}{l}f_1\left(x\right) = \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\\
f_2\left(x\right) = \dfrac{5\ \sqrt{x}}{1+\frac{2}{x}}\\
f_3\left(x\right) = \dfrac{x^2+\frac{4}{x}}{x^2+\frac{x}{4}}\\
f_4\left(x\right) = \left(x+\dfrac{3}{x^3}\right)x^2\end{array} Exercice 6 Soient f 1,.., f n n fonctions dérivables. Déterminer la formule permettant de calculer (f_1\times \ldots \times f_n)' Indication: On pourra commencer par n = 3 pour bien comprendre ce qu'il se passe Exercice 7 (proposé par Valentin Melot) On note pour la suite f une fonction, dont on admet l'existence, définie sur les réels strictement positifs et telle que \forall x \in \mathbb{R}_+^{*}, f'(x) = \dfrac{1}{x} n représente un entier.
Formules utilisés:
si alors
Si u est constante alors est nulle. Exercice 2. Calculer. (fonction originale)
(transformation algébrique)
( formule 6)
( formules 1, 2, 3, 4 et 5)
(distribution)
(simplification)
rem: Une dérivation plus astucieuse permet de trouver une forme factorisée de f'
( formules 6, 3A, et 1, 2, 3, 4, 5)
(factorisation)
Exercice 3. Calculer. ( formules 5, 2, 1 et 3)
Exercice 4. Calculer. Formules utilisées:
(
f est dérivable sur comme fonction polynôme. Exercice 4 (bis)
L'exercice précédent se décline à l'infini en changeant les fonctions affines et les exposants. Exercice de math dérivée a un. Montrer que si alors où r est la moyenne pondérée des racines de et affectées des coefficients m et n. Mêmes formules utilisées que précédemment
Or est la racine de et la racine de, enfin la moyenne pondérée r de et affectés de m et n est:
donc
Dérivées de fonctions rationnelles [ modifier | modifier le wikicode]
f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition. Formule utilisée:
u(x) = 3x - 2, u'(x) = 3, v(x) = x + 5, v'(x) = 1 donc
Exercice 1 (bis)
L'exercice précédent peut se développer à l'infini en changeant les coefficients du numérateur et du dénominateur
Prouver que si alors.
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