Négligeabilité [ modifier | modifier le code]
On considère deux intégrales impropres en b,
Si, quand t → b, (en particulier si) et g est de signe constant, alors: si l'intégrale
est convergente, l'intégrale
l'est aussi [ 2] (d'après le § « Majoration »). Remarque
La condition « de signe constant » est indispensable. Par exemple:
converge, mais
diverge, bien qu'en +∞,
Équivalence [ modifier | modifier le code]
Avec les mêmes notations qu'au paragraphe précédent, si f et g sont équivalentes au point b et de signe constant, alors leurs intégrales sont de même nature puisque f = O ( g) et g = O ( f). Puisque sin( s) – s est équivalent en 0 + à – s 3 /6 < 0, converge si et seulement si λ < 2. Intégrale de bertrand en. La condition « de signe constant » est, là encore, indispensable (de même que dans le critère analogue pour les séries). Par exemple,
sont équivalentes en +∞ mais leurs intégrales ne sont pas de même nature, d'après la remarque du § précédent. Règle d'Abel [ modifier | modifier le code]
Une conséquence du critère de Cauchy ci-dessus est le théorème suivant (pour g localement intégrable sur [ a, b [):
Si f est décroissante et de limite nulle en b et si la fonction est bornée, alors l'intégrale de fg sur [ a, b [ converge [ 3].
Intégrale De Bertrand De
Si il existe tel que. Comme est divergente tu as aussi la divergence de l'intégrale de Bertrand. Posté par newrine re: intégrales de Bertrand 16-10-15 à 19:19 ha super merci!! Ce topic
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Solution
Si,. Si, admet une limite finie (quand) si et seulement si, et cette limite vaut alors. Remarque
Soit. On a si et seulement si les deux limites et existent et si leur somme est égale à.
si et seulement si pour toutes fonctions telles que et (où est par exemple ou), on a. Il ne suffit donc pas, pour que, qu'il existe deux fonctions telles que et et telles que. Par exemple, pour toute fonction impaire, mais cela n'implique aucunement que converge (penser à la fonction, dont la primitive n'a pas de limite en l'infini, et pour laquelle même n'a pas de limite quand puisqu'elle vaut par exemple pour et pour). Intégration de Riemann/Intégrales généralisées — Wikiversité. Premières propriétés [ modifier | modifier le wikicode]
Il y a linéarité des intégrales généralisées convergentes. Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite. Enfin, il y a les « fausses intégrales généralisées », celles où l'on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer:
est convergente. Il suffit de remarquer que le prolongement par continuité en de est:
Calcul explicite [ modifier | modifier le wikicode]
Comme dans le premier exemple ci-dessus, il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale impropre en, d'expliciter la fonction par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon Intégration en mathématiques et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand tend vers.
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