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Définition
On dit qu'une suite est géométrique
s'il existe un réel non nul tel que pour
tout on ait. Le réel s'appelle la raison de la
suite. Exemple
La suite définie par avec est une suite
géométrique de raison 2. Les premiers termes de cette suite sont 1, 2, 4, 8,
16…
Dire qu'une suite de termes non nuls est
géométrique signifie que le
quotient de 2 termes consécutifs
quelconques est constant quel que soit. Propriété
Le terme général d'une suite
géométrique peut s'exprimer directement en
fonction de avec ou quel que soit. Il est ainsi possible, connaissant ou et, de calculer n'importe quel
terme de la suite. Pour une suite géométrique de raison
(–0, 3) et de premier terme, on peut écrire
et ainsi connaitre directement la
valeur de n'importe quel terme de la suite. Par exemple,.
suite géométrique |
raison suite géométrique |
somme des termes |
intérêts composés |
les ascendants |
les nénuphars |
exemples |
exercices |
Soit S n la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme a et de raison q avec q ≠ 1 et q ≠ 0. La somme S n s' écrit donc:
S n = a + aq + aq 2 + aq 3 +...... + aq n−1. Si on multiplie tous les termes par la raison q, nous obtenons
qS n = aq + aq 2 + aq 3 + aq 4 +...... + aq n. On obtient ensuite en faisant la différence entre qS n et S n:
qS n − S n = aq + aq 2 + aq 3 + aq 4 +...... + aq n − (a + aq + aq 2 + aq 3 +...... + aq n−1)
qS n − S n = aq + aq 2 + aq 3 + aq 4 +...... + aq n−1 − ( aq + aq 2 + aq 3 +...... + aq n−1) − a + aq n
qS n − S n = aq n − a
S n ( q − 1) = a ( q n − 1),
On obtient donc:
S n = a ( q n − 1) / ( q − 1) car q ≠ 1. Pour obtenir la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, il faut multiplier le premier terme de cette suite par le quotient de la puissance n iéme de la raison diminuée de 1 par la raison diminuée de 1.
Réponse: Une série géométrique infinie est la somme d'une série géométrique infinie. Cette série n'aurait pas de terme définitif. La forme générale de la série géométrique infinie est a1 + a1r + a1r2 + a1r3 +…, où a1 est le premier terme et r est le rapport commun. Quelles sont les valeurs de a1 et R de la série géométrique 1 3 9 27? Réponse expert vérifié r est le rapport général, qui est le rapport constant trouvé en divisant un terme par le terme qui le précède … Donc a1 = 1 et r = 3, C. est votre réponse. Quelle est la somme des six premiers termes de la série géométrique? La somme des 6 premiers termes d'une suite géométrique est 9 fois la somme de ses 3 premiers termes. Quelle est la somme des séries géométriques infinies? Une série géométrique infinie est la somme d'une suite géométrique infinie. La forme générale de la série géométrique infinie est a1 + a1r + a1r2 + a1r3 +…, où a1 est le premier terme et r est le rapport commun. On peut trouver la somme de toutes les séries géométriques finies.
On remarque instantanément que la raison est q=4. Mais la difficulté réside alors le fait de déterminer la valeur de n. Pas de panique, il suffit de réaliser une table des puissances de 4 avec la calculatrice et trouver que $4^7=16384$ La somme S s'écrit donc: $S=1+4+4^2+…+4^7$ On peut alors appliquer la formule: $S=\frac{1-4^{7+1}}{1-4}=21845$ Exemple 2: Soit la suite définie par $U_0=1$ et $U_2=9$ Calculer la somme des 10 premiers termes. Dans ce cas là, le premier terme et le nombre de termes de la somme sont connus. Par contre, il faut trouver la raison de la suite géométrique. Cet exemple est assez simple, ici q=3. On calcule donc la somme: $$S=1+3+3^2+…3^9$$ $$S=\frac{1-3^{9+1}}{1-3}=29524$$
Il existe plusieurs formules qui peuvent être résumées en une seule La difficulté de la question ne réside pas dans l'utilisation de la formule mais dans la détermination d'autres facteurs: la raison, la valeur du premier terme ou encore le nombre de termes
table des matières
Quelle est la somme de la suite géométrique 1 3 9 à 12 termes? La somme du nombre dans la séquence géométrique 1, 3, 9 … avec 12 termes est 265 720. Quelle est la somme de la suite géométrique 1 3 9 à 14 termes? Réponse: La somme de la suite géométrique 1, 3, 9 à 14 termes est 1/2 × [314 – 1]
Quelle est la somme de la suite géométrique 1 3 9 à 13 termes? 1, 3, 9, Et, nombre total de termes, n = 13. La somme de la série géométrique donnée est donc 797161. Quelle est la somme de la suite géométrique – 3 18 – 108 s'il y a 7 termes? Par conséquent, la somme des 7 termes de la série GP est de -119973. J'espère que ça aide. Quelle est la somme de la suite géométrique – 4 24 – 144 s'il y a 7 termes? Réponse et explication: La somme de la suite géométrique donnée jusqu'à sept termes est donc -159964. Quelle est la formule récursive de cette suite géométrique? La formule récursive d'une suite géométrique est an = an − 1 × r, où r est le rapport commun. Quelle est la somme de la série géométrique infinie Brainly?
suite arithmétique |
raison suite arithmétique |
somme des termes |
1+2+3+... +n |
1²+2²+... +n² et 1²+3²+... +(2n-1)² |
1³+2³+... +n³ et 1³+3³+... (2n-1)³ |
1 4 +2 4 +... +n 4 |
exercices
On peut trouver la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique en connaissant le premier et le dernier termes. On note: S n = u 1 + u 2 +... + u n−1 + u n la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique. D'après la formule [ i], la somme devient:
S n = a + a + r +... + a + r × ( n − 2) + a + r × ( n − 1).
Suites Géométriques - Preuve Formule de la Somme - YouTube