Il existe plusieurs types de plans permettant l'étude des surfaces de réponses et la
modélisation polynomiale du second degré. La présente section présente le plan d'expériences
utilisé au cours de nos travaux (chapitre III et IV) pour mettre en œuvre la méthodologie des
surfaces de réponse. Le plan utilisé est un plan composite centré permettant de modéliser l'évolution d'un
critère au moyen d'une forme quadratique analytique prenant en considérations 3 paramètres. Plans composites centrés - Méthodologie de surface de réponse (MSR). Un plan composite est constitué de trois parties:
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Un plan factoriel à deux niveaux par facteur analogue à ceux déjà décrits;
Au moins, un point expérimental situé au centre du domaine expérimental;
Des points expérimentaux situés sur les axes de chacun des facteurs. La représentation d'un plan composite à trois facteurs est donnée sur la figure II. 3. Les
points A, B, C, D, E, F G, H sont les points d'un plan factoriel β 3. Le point M est le point
central; il peut être répliqué une ou plusieurs fois. Les points a, b, c, d, e, f sont les points
axiaux.
Plan Composite Centreé 3 Facteurs Des
Ces six derniers points forment ce que l'on appelle le plan en étoile. Figure II. Do ai e e p i e tal d'u pla o posite à fa teu s
Dans cet exemple, avec 3 répliques du point central, il y a lieu de réaliser 17 essais, pour
déterminer 10 coefficients, en supposant négligée l'interaction d'ordre trois. Il faut donc
résoudre un système de 17 équations à 10 inconnues. Le calcul est effectué à l'aide d'un
logiciel approprié (dans notre cas MODDE 5). L'intérêt des plans composites réside dans le fait qu'ils prennent facilement la suite d'un
premier plan factoriel dont les résultats sont inexplicables par un modèle du premier degré. Il
suffit d'effectuer les expériences correspondant aux points en étoile et de faire les calculs sur
l'ensemble de toutes les expériences. Les plans composites sont parfaitement adaptés à
l'acquisition progressive des résultats. Profondeur[
Largeur[a]
ré
si
sta
n
ce
[R]
2 4
E
B
G
D
2. 5
5
0. Que sont les plans de surface de réponse, les plans composites centrés et les plans de Box-Behnken ? - Minitab. 3
0. 6
H
A C
b
c
a
d
e
f
M
37
Le nombre de niveaux d'un plan composite est de cinq par facteur: le point central, les
deux niveaux du plan factoriel et les deux niveaux des points en étoile.
Plan Composite Centreé 3 Facteurs D
Il s'agit de savoir comment, les erreurs qui affectent
chacune des réponses y i du plan, se répercutent sur la précision de l'effet E calculé. Créer un plan de surface de réponse (composite centré) - Généralités - Minitab. Nous savons de la théorie des statistiques, que la variance V(E) sur E, est égale à la
somme V (y i) des variances sur les réponses y i, divisée par n 2, soit:
(II-29)
Si l'on suppose que la variance est la même pour toutes les réponses,
(II-30)
On obtient la relation simplifiée:
(II-31)
(II-32)
L'écart type σ(E) sur l'effet E, est obtenu à partir de l'écart type σ (y) sur la réponse, par
la relation:
V y
V
E 1 *
(II-33)
y
E
1 (II-34)
II. 3 Comparaison erreur-effet
Après avoir déterminé, pour un facteur (ou une interaction), la valeur de l'effet et celle
de l'erreur commise sur son calcul, il reste à faire un jugement sur sa qualité. Il s'agit de
39
déterminer, sur quels critères on peut se baser, pour dire d'un effet qu'il est significatif ou non
La méthode consiste à comparer l'erreur σ(E) commise, à l'effet E lui-même.
Plan Composite Centreé 3 Facteurs Film
Pour la méthodologie de la surface de réponse l'utilisation des variables codées (ou des
variables centrées réduites) pour trouver le modèle de régression pour p variables est une
pratique courante. La relation la plus répandue pour la transformation des variables réelles en
variable codées a été proposée par l'équation I. 23 de Khuri et Cornell:
= () (I. Plan composite centreé 3 facteurs film. 23)
Pour laquelle:
– u est la valeur supérieure pour t
– l est la valeur inférieure pour t
– t est la valeur cible étudiée avec l t u
– x est la valeur codée qui correspond à t.
La première précaution à prendre pour minimiser l'influence de la dérive de mesure
sous la contrainte de conditions extérieures variables est d'organiser dans un ordre aléatoire la
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réalisation des essais. En second lieu, Il faut quantifier l'erreur commise sur les résultats et
fixer le taux d'erreur expérimental à retenir pour leur analyse; ceci permettra alors de
s'appuyer sur les outils statistiques pour exploiter les résultats des plans. L'erreur expérimentale est par définition, égale à l'erreur totale. Toutefois du fait de la
difficulté de détecter les erreurs systématiques, il arrive que l'on ne retienne que l'erreur
aléatoire comme valeur de l'erreur expérimentale. II. Plan composite centreé 3 facteurs des. 2. Calcul des erreurs aléatoires sur les effets
Considérons le cas d'un plan factoriel complet, à n facteurs et 2 niveaux, noté 2 n. Pour
un facteur quelconque d'indice i, l'effet E i ou l'interaction I i (qu'on notera E pour simplifier),
est donné par la relation:
(II-28)
L'effet ainsi calculé, à partir de l'ensemble des réponses mesurées, est
incontestablement entaché d'erreur.
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