Démonstration
Partons du nombre:
Multiplions-le par l'inverse de la raison de la suite, à savoir 10. Soustrayons maintenant le nombre S initial:
Donc, on a:
CQFD! Une série de zéros peut se remplacer par une série de 9 en retranchant 1 au chiffre précédent:
Car en utilisant le résultat ci-dessus:
Le développement des décimaux à chiffres périodiques [ modifier | modifier le wikicode]
Après avoir vu le cas du développement de l'unité, on peut passer à des décimaux périodiques de la forme: ou. Par exemple, le nombre est la somme totale de la série géométrique suivante:. Comment calculer une moyenne géométrique: 6 étapes. On voit que cet exemple est une suite géométrique de raison l/10 et de premier terme 7/10. La formule d'une série géométrique nous dit que cette série vaut:
Si on applique le même raisonnement aux nombres dont un seul chiffre est répété infiniment, on trouve:
On voit clairement qu'il y a un certain motif qui se dégage, un motif suffisamment évident pour ne pas le détailler plus.
Si votre calculatrice n'a pas la fonction, c'est une solution. Pour la série composée de 3, 5 et 12, la notation est équivalente à. 3
Convertissez les pourcentages en valeurs décimales. Si votre série est composée de pourcentages, il faut opérer différemment, car ce ne sont pas des valeurs comme les valeurs numériques. Si vous opériez directement comme on l'a vu, vous obtiendrez un résultat faux. Transformez chaque pourcentage de hausse en le divisant 100 et en ajoutant 1 et chaque pourcentage de baisse en le divisant 100 et en soustrayant ce résultat de 1 [3]. Admettons que vous ayez à calculer la moyenne géométrique du prix d'un objet, lequel prix augmente d'abord de 10%, puis baisse de 3%. Convertissez 10% en un chiffre décimal () et ajoutez 1, ce qui vous donne 1, 10. Convertissez ensuite 3% en un chiffre décimal (), puis soustrayez-le de 1, soit 0, 97. Servez-vous de ces 2 valeurs pour la moyenne géométrique:. Convertissez ce résultat en pourcentage. Formule série géométrique. Soustrayez 1 du résultat obtenu précédemment, puis multipliez ce nouveau résultat par 100, ce qui donne ici:, soit 3% ().
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