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Arithmétique dans Z - Algorithme d'Euclide - 2 Bac SM - 1 Bac SM - [Partie 3] - YouTube
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On dit que $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ est la décomposition en produit de facteurs premiers
de $n$. Si $n\geq 2$ et $p$ est un nombre premier, on appelle valuation $p$-adique de $n$, et on note $v_p(n)$,
le plus grand entier $k\geq 0$ tel que $p^k|n$. La valuation $p$-adique de $n$ est l'exposant de $p$ dans la décomposition en produit de facteurs premiers
Application au calcul du pgcd et du ppcm: si $a, b\geq 2$ se décomposent sous la forme
$$a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$$
$$b=p_1^{\beta_1}\cdots p_r^{\beta_r}$$
où les $p_i$ sont des nombres premiers et $\alpha_i, \beta_i\in\mathbb N$, alors
\begin{eqnarray*}
a\wedge b&=&p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)}\cdots p_r^{\min(\alpha_r, \beta_r)}\\
a\vee b&=&p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)}\cdots p_r^{\max(\alpha_r, \beta_r)}. \end{eqnarray*}
Congruences
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs et $n$ un entier naturel. ANNALES THEMATIQUES CORRIGEES DU BAC S : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE. On dit que $a$ et $b$ sont congrus modulo n
s'il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $a-b=kn$. On note
$$a\equiv b\ [n].
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La liste des nombres N possibles est:
{1001;1008;2002;2009;3003;4004;5005;6006;7000;7007;8001;8008;9002;9009}
* Exercice 14 *
1) a) Soient n, a, b, c et d des entiers tels que n≥0, a≡b[n] et c≡ d[n]
D'après le pré-requis:
a=b[n] si, et seulement si, il existe un entier k tel que a-b=k n.
c≡d[n] si, et seulement si, il existe un entier k' tel que c-d=k'n. Alors:
ac=(b+kn)(d+k'n)=bd+n(bk'+dk+k k'n). Or, bk'+dk+k k'n∈Z,
par conséquent ac≡bd[n]
2)
\(4^{0}≡1[7]\);\(4^{1}≡4[7]\);\(4^{2}≡16≡2[7]\);\(4^{3}≡64≡1[7]\);
On conjecture donc que:
pour tout entier naturel n:
*si n=0 [3] alors 4n=1 [7]. *si n=1 |3] alors 4n=4 [7]. Résumé de cours : Arithmétique. *si n=2 [3] alors 4n=2 [7]. Montrons alors cette conjecture:
*si n=0 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k. Par conséquent \(4n=4^{3k}=(4^{3})^{k}\)≡1^{k} [7] ≡ 1[7]\)
*si n=1 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k+1. Par conséquent \(4n=4^{3k+1}=(4^{3})^{k}×4\)≡1^{k}×4 [7] ≡ 4[7]\)
*si n=2 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k+2. Par conséquent \(4n=4^{3k+2}=(4^{3})^{k}×4^{2}\)≡1^{k}×16 [7] ≡ 2[7]\)
De plus, 1, 4 et 2 sont des entiers des l'intervalle [0;7[.
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Ensuite vous pourrez comparer vos réponses à celles du corrigé. Cette fiche propose cinq exercices qui portent sur le chapitre "arithmétique". Nous vous rappelons que les notions et outils de base relatifs à ce chapitre constituent une part importante de la culture générale dont vous devez disposer en abordant le programme de terminale et lors de l'épreuve du bac. Les autres fiches de révisions
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On procède par disjonction des cas. On étudie les cas \(n ≡ r \mid 5]. \) pour 0≤r<5. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline r & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline n ^{2} ≡…[5] & 0 & 1 & 4 & 4 & 1 \\
\hline n ^{2}- 3n+6 ≡…[5] & 1 & 4 & 4 & 1 & 0 \\
\hline
\end{array}\)
On en déduit que \(n^{2}-3n+6\) est divisible par 5 pour \(n≡4[5]\)
L'ensemble des solutions est {4+5 k, k∈Z}. * Exercice 12 *
\(7^{2}=49=1[4] \)
On en déduit que, pour tout n∈IN:
\(7^{2 n}=(7^{2})^{n}≡1^{n}[4]≡1[4]\)
On en déduit que:
\(7^{2 n}-1≡0[4]\)
Donc: \(7^{2 n}-1\) est divisible par 4 pour tout n∈IN. * Exercice 13 *
1) a) \(2^{3}=8 ≡1[7]\). Arithmétique dans Z - Algorithme d'Euclide - 2 Bac SM - 1 Bac SM - [Partie 3] - YouTube. On en déduit que, pour tout k∈IN:
\(2^{3 k}=(2^{3})^{k}≡ 1^{k}[7]=1[7]\). b) \(2009=3 × 669+2\) donc:
\(2^{2009}=2^{3×669+2}=2^{3×669}×2^{2}\)
\(=1×2^{2}[7] ≡ 4[7]. \)
Le reste cherché est donc 4. 2) a) 10=3[7]
donc \(10^{3}≡3^{3}[7]=27[7]≡-1[7] \)
donc \(10^{3}≡-1[7]\). b) \(N=a×10^{3}+b ≡a×(-1)+b[7]≡b-a[7]\)
donc N≡b-a[7]
N est divisible par 7 si, et seulement si N≡b-a[7]
⇔b-a≡0[7]
⇔ a≡b[7]
On en déduit que a=b ou a-b=7 où-7.