Considérons l'équation ax²+bx+c=0. Nous devons chercher à exprimer les éventuelles solutions de cette équation en fonction des coefficients a, b et c afin d'obtenir des formules permettant de calculer les solutions à partir de ces trois coefficients. Pour cela, commençons par factoriser l'expression de gauche afin d'obtenir une équation-produit. Technique
1. On factorise par a ( a ≠0, car sinon, ce serait une équation du premier degré). 2. On multiplie et on divise le terme du milieu par 2 puis on ajoute et on soustrait afin de faire apparaître le résultat
du développement de la première identité remarquable. 3. On factorise avec la première identité remarquable et on simplifie ce qui reste à droite. Les-Mathematiques.net. Forme canonique
Pour simplifier la suite du calcul, posons Δ=b²-4ac. (Δ est une lettre grecque qui se lit "delta"). On obtient, puis en appliquant la distributivité avec a, on obtient:
Cette expression s'appelle la forme canonique de ax²+bx+c. Elle permet de faire apparaître les coordonnées du sommet S de la parabole:
Différents cas
Reprenons la forme.
Les Équations Du Second Degré Exercices En
Nous remarquons que:
Conclusion et méthode de résolution
Pour résoudre une équation de la forme ax²+bx+c=0, on pourrait faire tous les calculs
ci-dessus en remplaçant a, b et c par les coefficients de notre équation, ce qui marcherait, mais serait très long. Pour gagner du temps, on utilisera directement les formules ci-dessus avec la méthode suivante:
1. On calcule le nombre Δ=b²-4ac. 2. On regarde le signe de delta. - Si Δ<0, l'équation n'a pas de solution. Les équations du second degré exercices en. - Si Δ=0, l'équation possède une solution que l'on calcule avec la formule. - Si Δ>0, l'équation possède deux solutions que l'on calcule avec les formules et. Exemple
Pour l'équation -2x²+3x+4=0:
1. On calcule delta..
2. Comme delta est positif, il y a deux solutions: et. Cas particuliers: à partir d'une solution connue
Nous allons maintenant voir deux techniques qui permettent de calculer rapidement la deuxième solution d'une équation du deuxième degré,
sans utiliser le lourd calcul de Δ et de x 2, lorsqu'on parvient à deviner la première solution.
En identifiant (comparant) ce résultat à x²+5x-6, on obtient x 2 =-6. Résolution d'une équation du troisième degré
Avec la même technique, on peut trouver les solutions d'une équation de la forme ax 3 +bx 2 +cx+d=0 à partir d'une solution connue x 1. En effet, ax 3 +bx²+cx+d=0 se factorise alors en a(x-x 1)(ex²+fx+g)=0. Donc x-x 1 =0 ou ex²+fx+g=0, et on sait résoudre tout cela. Par exemple, pour l'équation x 3 -2 x² +3 x-6=0, on remarque que 2 est une solution. x 3 -2x²+3x-6=0 se factorise donc en (x-2)(ax²+bx+c)=0. Développons: (x-2)(ax²+bx+c) = ax 3 +bx²+cx-2ax²-2bx-2c = ax 3 + (b-2a) x²+ (c-2b) x-2c=0. Par identification, on obtient a=1, b-2a=-2, c-2b=3 et -2c=-6 d'où a=1, b=0 et c=3. Il reste à résoudre (x-2)(x²+3)=0. Comme x²+3=0 n'a pas de solution, x 3 -2x²+3x-6 n'a qu'une solution. Produit scalaire, exercice de trigonométrie et fonctions trigonométriques - 880509. Inéquation du deuxième degré
Nous allons maintenant apprendre à résoudre des inéquations du deuxième degré. Ce sont des inéquations de la forme ax²+bx+c≤0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c>0 ou ax²+bx+c≥0,
Pour cela, commençons par nous intéresser à l'allure de la courbe de la fonction f(x)=ax²+bx+c en fonction de ses coefficients.
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