Fiche de mathématiques
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Sujet en partie relatif au cours sur la fonction exponentielle Partie I
On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur par:
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal Unité graphique 1 cm. 1. Calculer
2. a) Vérifier que peut s'écrire. b) En déduire
3. Calculer et établir le tableau des variations de
4. a) Montrer que la droite d'équation est asymptote à lorsque tend vers moins l'infini. Sujet bac maths fonction exponentielle au. b) Etudier la position de par rapport à
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse -1. 6. Construire et
7. Calculer en cm² l'aire du domaine limité par la courbe et les droites d'équation et Partie II
Pour tout entier appartenant à, on désigne par le domaine limité par la droite la courbe et les droites d'équation: et
1. Calculer en cm² l'aire du domaine
Montrer que la suite des réels est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
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Le sujet 2004 - Bac STI Génie Electronique - Mathématiques - Problème
LE SUJET
PROBLEME (11 points)
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur par f ( x) = ( ax 2 + bx + c) e - x où a, b et c désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni du repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 0, 5 cm sur l'axe des ordonnées. On admet que la droite D passe par A et est tangente à la courbe C f au point B.
1. a) A l'aide d'une lecture graphique, déterminer les coordonnées entières des points A et B.
En déduire f (-3) et f (0). b) Montrer qu'une équation de la droite (AB) est: y = x + 3. En déduire la valeur de f '(0). 2. Sujet bac maths fonction exponentielle terminale. a) Montrer que, pour tout x appartenant à, f '( x) = (- ax 2 + (2 a - b) x + b - c) e - x.
b) En déduire f ' (0), en fonction de b et c. 3. a) En utilisant les questions précédentes, montrer que les réels a, b et c sont solutions du système.
Sujet Bac Maths Fonction Exponentielle De Base
A l'aide d'une intégration par parties, montrer que. Partie C:
On désigne par n un entier naturel non nul et on considère la fonction f n définie sur. On note C n la courbe représentative de f n dans le repère. 1. Montrer que pour tout entier, f n admet un maximum pour note ce maximum. 2. On appelle S n le point de C n d'abscisse Montrer que, pour tout n, C n passe par S 2. Placer S 1, S 2, S 3 sur la figure. 3. Soit la fonction g définie sur. c'est à dire
a) Etudier le sens de variation de g.
b) Montrer que pour tout entier. En déduire que tout point S n a une ordonnée supérieure à celle de S 2. LE CORRIGÉ
I - QUEL INTERET POUR CE SUJET
- Etude d'une fonction exponentielle. - Représentation graphique d'une famille de courbes et un calcul d'aire à l'aide d'une intégration par parties. II - DEVELOPPEMENT
Partie A
2) posons u = x 2. Sujet Bac fonction exponentielle, exercice de Fonction Logarithme - 315014. = 0 d'après le théorème des croissances comparées,
on en déduit que l'axe des abscisses est asymptote à C 1 au voisinage de. 3) Il en résulte le tableau de variations de f 1.
Sujet Bac Maths Fonction Exponentielle En
On a donc. 2) S n est le point de C n d'abscisse. Le point S 2 a pour abscisse 1. Pour montrer que c n passe par S 2 pour tout n, il suffit de montrer que les coordonnées de S 2 sont indépendantes de n. En effet, f n (1) = e -1
Les coordonnées de S 2 sont:. Voir figure pour les points S 1, S 2, S 3. 3) La fonction g est définie sur. a. Sens de variation de g.
est du signe de ln car pour tout x positif. On en déduit que la fonction g est strictement décroissante sur [o, 2] et strictement croissante sur. b. Pour montrer que = g(n) pour tout n, il suffit de montrer que. En effet, on a bien = g(n) pour tout n.
c. Correction de sujet de bac d'analyse : fonction exponentielle, suites - sujet de bac - terminale. Comme la fonction g admet un minimum en 2; on a:
Soit
On en déduit que tout point S n a une ordonnée supérieure à celle de S 2. III - COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
Un problème très classique pour les parties A et B. Des connaissances solides sur la fonction exponentielle sont nécessaires. La partie C nécessitait une utilisation judicieuse des résultats acquis dans la partie B.
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7. On sait que la courbe est toujours au desus de la droite, donc. L'aire du domaine vaut Partie II
1. La courbe est en dessus de la droite sur, donc elle l'est aussi sur. L'aire du domaine en est égal à (Même calcul qu'au I. 7. en changeant les bornes):
Donc:
On remarque que où
On en déduit que:
2. La somme finie des termes d'une suite géométrique de raison est connu:
Or, comme
Partie III
1. D'après le cours, l'équation de la tangente au point d'abscisse est:
Et comme, l'équation de la tangente devient:. En faisant varier pour parcourir tous les points de la courbe, on obtient une équation de la tangente différente
2. Annales gratuites bac 2004 Mathématiques : Fonction exponentielle. a) La tangente et l'asymptote ne sont pas parallèles puisqu'elles n'ont pas le même coefficient directeur. Et donc elles se coupent en un point de coordonnées qui vérifie:
On a donc:
Calculons maintenant la distance:
Puisque et sont respectivement les projections orthogonales de et sur l'axe des abscisses, on en déduit que:
Il s'ensuit que:
Et: Conclusion:
2. b) On procède suivant les étapes suivantes:
A partir du point de la courbe, on trace le point (simple projection orthogonale sur l'axe des abscisses)
On obtient le point par translation du point de.
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