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Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par Leitoo 24-05-10 à 18:29 Bonjour,
J'ai un petit exercice qui me bloque. Pour un réeel a, on note sa partie entière [a]. On considère la fonction. On notera h(x, t) l'intégrande. 1. Montrer que f est définie sur]0;+oo[
2. Montrer qu'elle est continue sur]0;+oo[
3. Calculer f(1)
4. Etudier les limites au bornes. Pour la question 1., si on montre tout de suite la continuité grâce aux théorème de continuité des intégrales à paramètres au on aura automatiquement le fait qu'elle soit bien définie. Comment le montrer autrement
Pour la question 2. - A x fixé dans]0;+oo[ t->h(x, t) est C0 par morceaux sur]0;+oo[. - A t fixé dans]0;+oo[ x->h(x, t) est C0 sur]0;+oo[. -
Mais comment montrer que g(t) est intégrable, je pense qu'il faut faire un découpage. Cours et méthodes Intégrales à paramètre en MP, PC, PSI, PT. Merci de votre aide. Posté par perroquet re: Intégrale à paramètre, partie entière. 24-05-10 à 18:40 Bonjour, Leitoo
Pour montrer que f(x) est bien définie, il suffit de montrer que t->h(x, t) est intégrable sur]0, + [.
Intégrale À Paramètre Exercice Corrigé
La lemniscate de Bernoulli. La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane unicursale. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli. Histoire [ modifier | modifier le code]
La lemniscate de Bernoulli fait partie d'une famille de courbes décrite par Jean-Dominique Cassini en 1680, les ovales de Cassini. Jacques Bernoulli la redécouvre en 1694 au détour de travaux sur l' ellipse [ 1], et la baptise lemniscus ( « ruban » en latin). Le problème de la longueur des arcs de la lemniscate est traité par Giulio Fagnano en 1750. Intégrale à paramètre bibmath. Définition géométrique [ modifier | modifier le code]
Une lemniscate de Bernoulli est l'ensemble des points M vérifiant la relation:
où F et F′ sont deux points fixes et O leur milieu. Les points F et F′ sont appelés les foyers de la lemniscate, et O son centre. Alternativement, on peut définir une lemniscate de Bernoulli comme l'ensemble des points M vérifiant la relation:
La première relation est appelée « équation bipolaire », et la seconde « équation tripolaire ».
Intégrale À Paramétrer Les
La courbe ainsi définie fait partie de la famille des lemniscates (courbes en forme de 8), dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition, elle est l'exemple le plus remarquable d' ovale de Cassini. Elle représente aussi la section d'un tore particulier par un plan tangent intérieurement. Intégrale à paramétrer. Équations dans différents systèmes de coordonnées [ modifier | modifier le code]
Au moyen de la demi-distance focale OF = d [ modifier | modifier le code]
Posons OF = d. En coordonnées polaires (l'axe polaire étant OF), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation:
Démonstration
La relation MF·MF′ = OF 2 peut s'écrire MF 2 ·MF′ 2 = OF 4 donc:
c. -à-d. :
ou:
ce qui donne bien, puisque:
En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant OF), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite):
Passons des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes:
et donc
L'équation polaire devient ainsi ce qui est bien équivalent à
L'abscisse x décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour y = 0).
Intégrale À Paramètre Bibmath
Me serais je trompé? Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:52 En fait c'est pareil ^^ Donc mea culpa, tu as tout à fait raison! Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 22:00 Ce n'est pas grave =)
Mais je ne parviens toujours à mettre un terme à ce calcul. Dois je tout développer? En réalité je ne vois pas vraiment comment regrouper les termes pour une simplification. Désolé de ne pas beaucoup avancer chaque fois... =(
Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 22:20 Je pose
Je note
On fait le ménage
Patatra!! J'ai dû faire une erreur de calcul, mais au moins je te montre la marche à suivre
Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 22:22 Merci beaucoup de ton aide, j'ai compris comment procéder. Intégrale à paramètre. Je vais finir ça tranquillement. =)
Posté par elhor_abdelali re: Calcul d'intégrale 25-05-10 à 01:26 Bonjour;
alors voilà ce que j'aurai écrit moi! après avoir justifié l'existence de l'intégrale bien entendu
sauf erreur bien entendu
Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 25-05-10 à 08:24 C'est en effet plus élégant elhor_abdelali.
L'ordonnée y décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour). Il est possible d'expliciter y en fonction de x:
Posons Y = y 2; l'équation implicite devient:
c. -à-d., en développant:
Cette équation du second degré a pour unique solution ( Y ne devant pas être négatif):
d'où l'on déduit y en écrivant
mais il est généralement plus pratique de manipuler l'équation implicite que d'utiliser cette expression explicite de y. Représentations paramétriques [ modifier | modifier le code]
En partant de l'équation en coordonnées polaires ρ 2 = 2 d 2 cos2 θ on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire θ:
Démonstration On passe des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes par les relations x = ρ cos θ et y = ρ sin θ. De ρ 2 = 2 d 2 cos2 θ on déduit | ρ |. Intégrale à paramètres. On peut ne garder que la valeur positive car il est équivalent de changer le signe de ρ ou d'augmenter θ de π. Cette représentation présente cependant le défaut que pour parcourir une fois la lemniscate il faut faire varier θ de –π/4 à +π/4 puis de 5π/4 à 3π/4, une variation qui n'est pas continue ni monotone.