Enoncé
Démontrer que, pour tout $t\in]-\pi/2, \pi/2[\backslash\{0\}$, on a
$ \displaystyle \frac{1-\cos t}{\sin t}=\tan(t/2). $
En déduire une forme simplifiée de $\displaystyle \arctan\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}x\right), $ pour $x\neq 0$. Enoncé Montrer que, pour tout $x\in[-1, 1]$, $\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac\pi2$. Enoncé Soit $f$ la fonction $x\mapsto \arcsin\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$. Donner son domaine de définition, son domaine de dérivabilité, puis étudier et tracer la fonction. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $\sqrt{1-x^2}\leq x$? Etude d une fonction trigonométrique exercice corrige des failles. Etudier la fonctions $x\mapsto \sqrt{1-x^2}\exp\big(\arcsin(x)\big). $
Enoncé Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes:
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1. }\ \arccos(x)=\frac\pi 6&\quad&\mathbf{2. \} \arctan(x/2)=\pi\\
\mathbf{3. }\ \arcsin(x)=\arccos(x). \end{array}$$
Enoncé Discuter, suivant les valeurs des paramètres $a$ et $b$, l'existence de solutions pour les équations suivantes:
$\arcsin x=\arcsin a+\arcsin b$;
$\arcsin x=\arccos a+\arccos b$;
(on ne demande pas de résoudre les équations!
Etude D Une Fonction Trigonométrique Exercice Corrige Des Failles
Les formules de duplication et d'addition peuvent être utiles afin de simplifier l'expression de f' pour en déduire son signe. Les valeurs de cos et sin pour les angles remarquables sont à connaître par cœur. Elles permettent de résoudre notamment les inéquations trigonométriques. On étudie le signe de f'\left(x\right). On cherche donc à résoudre f'\left(x\right) \gt 0. Etudier une fonction trigonométrique - Tle - Méthode Mathématiques - Kartable. Pour tout réel x:
f'\left(x\right) \gt 0
\Leftrightarrow -2\sin\left(2x\right) \gt 0
\Leftrightarrow \sin\left(2x\right) \lt 0
On utilise le cercle trigonométrique suivant: Ainsi:
0\lt x \lt\dfrac{\pi}{2}
\Leftrightarrow0\lt 2x \lt\pi
Et dans ce cas:
\sin\left(2x\right)\gt0
Donc, pour tout réel x appartenant à \left] 0;\dfrac{\pi}{2} \right[, f'\left(x\right)\lt0. Etape 6 Dresser le tableau de variations de f
On peut ensuite dresser le tableau de variations de f:
D'abord sur l'intervalle réduit si f présente une parité et/ou une périodicité. Puis sur l'intervalle demandé s'il est différent. On calcule les valeurs aux bornes de l'intervalle réduit:
f\left(0\right) = \cos \left(2\times 0\right) + 1
f\left(0\right) = 2
Et:
f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos \left(2\times \dfrac{\pi}{2}\right)+1
f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1+1
f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0
On dresse le tableau de variations sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2} \right]: Comme f est paire, on obtient son tableau de variations sur \left[ -\dfrac{\pi}{2}; 0 \right] par symétrie.
Etape 2 Étudier la périodicité de f
On conjecture la période de f et on démontre cette conjecture. On conjecture que f est périodique de période \dfrac{2\pi}{2}= \pi. Fiche de révision maths complémentaires : fonction trigonométrique - exercices corrigés. Pour tout réel x, on a \left(x+\pi\right) \in\mathbb{R} et:
f\left(x+\pi\right) = \cos\left(2\left(x+\pi\right)\right)+1
f\left(x+\pi\right) = \cos\left(2x+2\pi\right)+1
Or, pour tout réel x:
\cos\left(2x+2\pi\right) = \cos \left(2x\right)
Donc, pour tout réel x:
f\left(x+\pi\right) = \cos\left(2x\right)+1 = f\left(x\right)
Par conséquent, f est périodique de période \pi. Etape 3 Restreindre l'intervalle d'étude On raisonne en deux étapes (dans cet ordre):
Si f est périodique de période T, on réduit l'intervalle d'étude à un intervalle d'amplitude T. On choisit celui qui est centré en 0: \left[ -\dfrac{T}{2}; \dfrac{T}{2} \right]. Si f est paire ou impaire, on peut aussi restreindre l'intervalle à \left[ 0; \dfrac{T}{2} \right] ou \left[ -\dfrac{T}{2}; 0 \right]. Si f est paire ou impaire mais non périodique et définie sur \mathbb{R}, alors on peut restreindre l'intervalle d'étude à \left[ 0;+\infty \right[ ou à \left]-\infty; 0\right].
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