Exercice de maths de première sur une fonction rationnelle (exercice corrigé). Coefficients, position, dérivées, tableau, variations. Exercice N°057:
Soit f la fonction définie sur R privé de { 1} par. C est sa courbe représentative. 1) Vérifier que, pour x différent de 1,. 2) Préciser la position relative de la droite D d'équation
y = -3x
par rapport à la courbe C. Études de fonctions irrationnelles avec corrigés. 3) Trouver les réels a, b et c tels que, pour x différents de 1,. 4) Préciser la position de la droite D ' d'équation
y = ax + b
5) Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. 6) Déterminer l'équation de la tangente T à C en 0. 7) Peut-on trouver une autre tangente à C parallèle à T (par le calcul)? 8) Construire les droites D, D', T et la courbe C. 9) Résoudre graphiquement et par le calcul l'inéquation
f(x) ≥ 0. Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Fonctions Rationnelles Exercices Corrigés Au
Exercice corrigé i2-02
Dans le but de préparer l'étude de la dérivée seconde de la fonction f, étudier préalablement la fonction h et déterminer les valeurs numériques des zéros de h à la précision ±0. 05
\[h(x)= 1-3 x+x^3\]
Étudier ensuite la fonction irrationnelle f avec usage de la dérivée seconde:
\[f(x)= \frac{\sqrt{x^4+2 x^3+x^2}}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}\]
Exercice corrigé i2-03
Étudier la fonction
\[ f(x)=\sqrt{\frac{-4 x^3}{-x+2}} \]
en traitant les points suivants:
domaine de définition;
zéro(s) et signe de f;
limites et asymptotes (verticales et affines);
extremums et tableau de variations (sans faire usage de la dérivée seconde);
graphique. Les corrigés ont été fabriqués comme suit:
Avec le logiciel Mathematica de Wolfram
le package EtudeFct automatise partiellement les études de fonctions; le système ne produit pas le tableau de variations proprement dit, mais fournit les informations nécessaires; le lecteur est invité à les assembler et les mettre en forme; le graphique est donné;
l'output est converti en langage LaTex.
Fonctions Rationnelles Exercices Corrigés Pdf
Directives
Pour tous les exercices (sauf mention contraire): faire une étude complète de la fonction donnée incluant
ensemble de définition; le cas échéant: parité, périodicité;
signe de la fonction;
dérivée, signe de la dérivée;
dérivée seconde, signe de la dérivée seconde;
tableau de variations avec intervalles de monotonie et de convexité;
limites et asymptotes éventuelles;
graphique de la fonction. Lorsque le calcul numérique d'un zéro est demandé, le choix de la méthode est libre: méthode de la bissection, méthode de la sécante, méthode de Newton, ou autre. Études de fonctions irrationnelles
Exercice corrigé i0-01
\[f(x)= \frac{\sqrt{\left| x^2-4 x\right|}}{x}\]
Exercice corrigé i0-02
\[f(x)= 2 x - 3 -\sqrt{4 x^2+6 x}\]
Exercice corrigé i1-01
\[ f(x)= x\sqrt{ \left| \frac{1-x}{1+x} \right|}\]
Exercice corrigé i1-02
\[f(x)= x+\sqrt{ \left| x^2-1 \right|}\]
Exercice corrigé i1-03
\[f(x)=\text{}\sqrt{\left| 4x^2+x\right|}-x\]
Exercice corrigé i2-01
\[f(x)= x \left( \sqrt{ \left| 1-x^2 \right|}-x\right)\]
Directive: Il n'est pas demandé de faire usage de la dérivée seconde.
Fonctions Rationnelles Exercices Corrigés 2
1. Des calculs simples
2. Un peu plus compliqués
3. Avec des polynômes de degré n Exercice 2
Décomposition en éléments simples dans de. Exercice 1
Décomposer en éléments simples dans, puis,. Correction: est une fraction rationnelle irréductible, de degré égal à admettant un pôle double et deux pôles complexes conjugués et. Fonctions rationnelles exercices corrigés pdf. Décomposition dans. On obtient une décomposition formelle en éléments simples de la forme. C'est une fraction rationnelle à coefficients dans avec deux pôles conjugués, donc. est paire
c'est la décomposition en éléments simples de, donc par unicité:,, alors et, donc est un imaginaire pur. Par propriété des pôles simples:. En utilisant et en substituant à, on obtient
alors. Pour trouver la décomposition en éléments simples dans, on réduit au même dénominateur
et. Exercice 2
Décomposer en éléments simples dans puis la fraction
Correction:
C'est une fraction irréductible, sans partie entière et admettant 4 pôles simples:. Comme est à coefficients réels, sa décomposition en éléments simples s'écrit
On obtient la valeur de en évaluant en:.
Vrai ou Faux? question 1. Soit un polynôme de degré scindé sur, quelle est la décomposi- tion en éléments simples de? Si, il suffit de remarquer que:
🧡 C'est un calcul classique à savoir refaire. Question 2
On suppose que est scindé sur.. Vrai ou faux? Correction: On note. On dérive la relation définie sur par..
comme opposé du produit de deux réels strictement positifs
Puis si,
Alors. Exercice 4
Soit. Exercices corrigés -Fractions rationnelles. Décomposer en éléments simples
On peut en déduire que
Vrai ou faux? Correction: est une fraction rationnelle de degré (quotient de deux polynômes unitaires de degré), irréductible de pôles simples où. La partie entière est le quotient du numérateur par le dénominateur, elle est égale à 1. On peut donc écrire. Soit et avec
alors,
ce que l'on peut écrire:
en posant dans le premier produit et dans le deuxième:
que l'on peut écrire. En évaluant en:
Exercice 5
Soit,. Si, on note
Quelle est la valeur de? Exercice 6
Si, décomposition en éléments simples de dans puis.
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