C'est un algorithme qui joue un rôle très important dans le calcul de la transformée de Fourier discrète d'une séquence. Il convertit un signal d'espace ou de temps en signal du domaine fréquentiel. Le signal DFT est généré par la distribution de séquences de valeurs à différentes composantes de fréquence. Travailler directement pour convertir sur transformée de Fourier est trop coûteux en calcul. Ainsi, la transformée de Fourier rapide est utilisée car elle calcule rapidement en factorisant la matrice DFT comme le produit de facteurs clairsemés. En conséquence, il réduit la complexité du calcul DFT de O (n 2) à O (N log N). Et c'est une énorme différence lorsque vous travaillez sur un grand ensemble de données. En outre, les algorithmes FFT sont très précis par rapport à la définition DFT directement, en présence d'une erreur d'arrondi. Cette transformation est une traduction de l'espace de configuration à l'espace de fréquences et ceci est très important pour explorer à la fois les transformations de certains problèmes pour un calcul plus efficace et pour explorer le spectre de puissance d'un signal.
Considérons par exemple un signal périodique comportant 3 harmoniques:
b = 1. 0 # periode
w0=1*
return (w0*t)+0. 5*(2*w0*t)+0. 1*(3*w0*t)
La fréquence d'échantillonnage doit être supérieure à 6/b pour éviter le repliement de bande. La durée d'analyse T doit être grande par rapport à b pour avoir une bonne résolution:
T=200. 0
fe=8. 0
axis([0, 5, 0, 100])
On obtient une restitution parfaite des coefficients de Fourier (multipliés par T). En effet, lorsque T correspond à une période du signal, la TFD fournit les coefficients de Fourier, comme expliqué dans Transformée de Fourier discrète: série de Fourier. En pratique, cette condition n'est pas réalisée car la durée d'analyse est généralement indépendante de la période du signal. Voyons ce qui arrive pour une période quelconque:
b = 0. 945875 # periode
On constate un élargissement de la base des raies. Le signal échantillonné est en fait le produit du signal périodique défini ci-dessus par
une fenêtre h(t) rectangulaire de largeur T. La TF est donc le produit de convolution de S avec la TF de h:
H ( f) = T sin ( π T f) π T f qui présente des oscillations lentement décroissantes dont la conséquence sur le spectre d'une fonction périodique est l'élargissement de la base des raies.
Introduction à la FFT et à la DFT ¶
La Transformée de Fourier Rapide, appelée FFT Fast Fourier Transform en anglais, est un algorithme qui permet de calculer des Transformées de Fourier Discrètes DFT Discrete Fourier Transform en anglais. Parce que la DFT permet de déterminer la pondération entre différentes fréquences discrètes, elle a un grand nombre d'applications en traitement du signal, par exemple pour du filtrage. Par conséquent, les données discrètes qu'elle prend en entrée sont souvent appelées signal et dans ce cas on considère qu'elles sont définies dans le domaine temporel. Les valeurs de sortie sont alors appelées le spectre et sont définies dans le domaine des fréquences. Toutefois, ce n'est pas toujours le cas et cela dépend des données à traiter. Il existe plusieurs façons de définir la DFT, en particulier au niveau du signe que l'on met dans l'exponentielle et dans la façon de normaliser. Dans le cas de NumPy, l'implémentation de la DFT est la suivante:
\(A_k=\sum\limits_{m=0}^{n-1}{a_m\exp\left\{ -2\pi i\frac{mk}{n} \right\}}\text{ avec}k=0, \ldots, n-1\)
La DFT inverse est donnée par:
\(a_m=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{A_k\exp\left\{ 2\pi i\frac{mk}{n} \right\}}\text{ avec}m=0, \ldots, n-1\)
Elle diffère de la transformée directe par le signe de l'argument de l'exponentielle et par la normalisation à 1/n par défaut.
cos ( 2 * np. pi / T1 * t) + np. sin ( 2 * np. pi / T2 * t)
# affichage du signal
plt. plot ( t, signal)
# calcul de la transformee de Fourier et des frequences
fourier = np. fft ( signal)
n = signal. size
freq = np. fftfreq ( n, d = dt)
# affichage de la transformee de Fourier
plt. plot ( freq, fourier. real, label = "real")
plt. imag, label = "imag")
plt. legend ()
Fonction fftshift ¶
>>> n = 8
>>> dt = 0. 1
>>> freq = np. fftfreq ( n, d = dt)
>>> freq
array([ 0., 1. 25, 2. 5, 3. 75, -5., -3. 75, -2. 5, -1. 25])
>>> f = np. fftshift ( freq)
>>> f
array([-5., -3. 25, 0., 1. 75])
>>> inv_f = np. ifftshift ( f)
>>> inv_f
Lorsqu'on désire calculer la transformée de Fourier d'une fonction \(x(t)\) à l'aide d'un ordinateur, ce dernier ne travaille que sur des valeurs discrètes, on est amené à:
discrétiser la fonction temporelle,
tronquer la fonction temporelle,
discrétiser la fonction fréquentielle.
get_window ( 'hann', 32))
freq_lim = 11
Sxx_red = Sxx [ np. where ( f < freq_lim)]
f_red = f [ np. where ( f < freq_lim)]
# Affichage
# Signal d'origine
plt. plot ( te, x)
plt. ylabel ( 'accélération (m/s²)')
plt. title ( 'Signal')
plt. plot ( te, [ 0] * len ( x))
plt. title ( 'Spectrogramme')
Attention Ici vous remarquerez le paramètre t_window('hann', 32) qui a été rajouté lors du calcul du spectrogramme. Il permet de définir la fenêtre d'observation du signal, le chiffre 32 désigne ici la largeur (en nombre d'échantillons) d'observation pour le calcul de chaque segment du spectrogramme.
54+0. 46*(2**t/T)
def signalHamming(t):
return signal(t)*hamming(t)
tracerSpectre(signalHamming, T, fe)
On obtient ainsi une réduction de la largeur des raies, qui nous rapproche du spectre discret d'un signal périodique.
append ( f, f [ 0]) # calcul d'une valeur supplementaire
z = np. append ( X, X [ 0])
Exemple avec translation ¶
x = np. exp ( - alpha * ( t - 1) ** 2)
( Source code)
EN SAVOIR PLUS
Résumé
Des phrases et des situations cocasses impensables à l'école: les élèves ont l'autorisation de copier sur leur voisin, la maîtresse les invite à se lancer dans une bataille de gommes, à hurler pour terrifier la classe d'à côté, etc. Détails
Prix:
16, 95 $
Catégorie:
Albums illustrés | poivre & compagnie
Auteur:
noé carlain | ronan badel
NOÉ CARLAIN RONAN BADEL
Titre:
Tout ce qu'une maîtresse ne dira jamais
Date de parution:
janvier 2022
Éditeur:
L'ELAN VERT
Collection:
POIVRE & COMPAGNIE
Pages:
32
Sujet:
ENFANTS - 2 A 7 ANS
ISBN:
9782844553638 (284455363X)
Référence Renaud-Bray:
318102217
No de produit:
1731861
Tout ce qu'une maîtresse ne dira jamais,
CARLAIN, NOÉ*BADEL, RONAN
©
2022
Tout Ce Que La Maitresse Ne Dira Jamais Cp Ce1
L. de Pourtalès 1 CP 2050 2001 Neuchâtel Tél. 032 889 66 49 Vaud Centre d'accueil MalleyPrairie Chemin de la Prairie 34 1007 Lausanne Tél. 021 620 76 76 Canton du Valais Foyer Point du Jour Région de Martigny Tél. 078 883 38 07 Numéros d'urgence Police: 117 | Urgences médicales: 144 | La Main Tendue: 143 Trouver un centre de consultation Cliquez ici pour une liste par canton. 078 883 38 07
Tout Ce Que La Maitresse Ne Dira Jamais Cp À La Terminale
Beaucoup d'humour et de second degré, c'est une très bonne alternative à l'incontournable "moi j'adore, la maîtresse déteste". Tout ce que la maitresse ne dira jamais cp ce1. Sympa
Reviewed in France on 15 September 2021 Verified Purchase Vraiment drôle et ludique. Bon support pour aborder les règles en groupe
Très bien
Reviewed in France on 7 December 2020 Verified Purchase 5. 0 out of 5 stars
Satisfait
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