Règle de Kummer [ modifier | modifier le code]
La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit [ 4], [ 5]:
Soient ( u n) et ( k n) deux suites strictement positives. Si ∑1/ k n = +∞ et si, à partir d'un certain rang, k n u n / u n +1 – k n +1 ≤ 0, alors ∑ u n diverge. Si lim inf ( k n u n / u n +1 – k n +1) > 0, alors ∑ u n converge. Henri Padé a remarqué en 1908 [ 6] que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs [ 2]. Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand [ 7] (en prenant k n = n ln ( n)), dont le critère de Gauss [ 8], [ 9] est une conséquence. Notes et références [ modifier | modifier le code]
↑ (en) « Raabe criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 ( ISBN 978-1556080104, lire en ligne). ↑ a et b Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon Série numérique sur Wikiversité. ↑ (en) Thomas John I'Anson Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Londres, Macmillan, 1908 ( lire en ligne), p. 33, exemple 2.
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé La
(n + 1) α n α 0 0 ≤ vn+1 ≤ vn0. (n + 1) α n α 0 (n0 + 1) α Prenons maintenant α ∈]1, 3/2[. Par comparaison à une série de Riemann, la série de terme général (vn) converge. On vient donc de voir deux phénomènes très différents de ce qui peut se passer dans le cas limite de la règle de d'Alembert. Le second résultat est un cas particulier de ce que l'on appelle règle de Raabe-Duhamel. Exercice 8 - Un cran au dessus! - L2/Math Spé - ⋆⋆ 1. Il faut savoir que la suite des sommes partielles de la série harmonique est équivalente à ln n. On utilise ici seulement la minoration, qui se démontre très facilement par comparaison à une intégrale: 1 + 1 1 + · · · + 2 n ≥ n+1 dx = ln(n + 1). 1 x On peut obtenir une estimation précise du dénominateur également en faisant une comparaison à une intégrale. Le plus facile est toutefois d'utiliser la majoration brutale suivante: ln(n! ) = ln(1) + · · · + ln(n) ≤ n ln n. Il en résulte que un ≥ 1 n, et la série un est divergente. On majore sous l'intégrale. En utilisant sin x ≤ x, on obtient (on suppose n ≥ 2): 0 ≤ un ≤ La série un est convergente.
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé Le
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Sami
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diverge. Ecrivant la STG un comme somme d'une série convergente et d'une série divergente, on obtient que la série de terme général un diverge. 2
Exercices - Séries numériques - étude pratique: corrigé
4. On va utiliser la règle de d'Alembert. Pour cela, on écrit: un+1 un = (n + 1)α × exp n ln(ln(n + 1)) − ln ln n nα × ln(n + 1) n+1
Or, la fonction x → ln(ln x) est dérivable sur son domaine de définition, de dérivée x → 1 x ln x. On en déduit, par l'inégalité des accroissements
Les series numeriques
6446 mots | 26 pages
proposition:
Proposition 1. 3. 1
Soit
un une série à termes positifs. un converge ⇐⇒ (Sn)n est majorée
Preuve. Il suffit d'appliquer la remarque (1. 1) et de se rappeler que les suites croissantes et
majorées sont convergentes. Théorème 1. 1 (Règle de comparaison)
un
vn deux séries à termes positifs. On suppose que 0 ≤ un ≤ vn pour tout
n ∈ N. Alors:
1.
vn converge =⇒
2.
un diverge =⇒
un converge. vn diverge. n
1) un ≤ vn =⇒ Sn =
k=0
un ≤
application de la loi dans le temps
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10 Le théorème de d'Alembert peut se déduire de celui de Cauchy en utilisant
un+1
√
le théorème 22.
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé
Cas α < 1 Plaçons-nous dans le cas très symétrique (vous allez voir, ce sont les mêmes calculs) On va poser \beta = \dfrac{1+\alpha}{2} < 1 On pose la suite (v n) n définie par: Considérons alors \begin{array}{lll}
\end{array} Et donc, à partir d'un certain rang noté n 0: On a donc: \forall n > n_0, v_n \geq v_{n_0} Et donc en remplaçant: u_nn^{\beta} > u_{n_0}n_0^{\beta} \iff u_n > \dfrac{u_{n_0}n_0^{\beta}}{n^\beta} = \dfrac{C}{n ^{\beta}} On obtient alors, par comparaison de séries à termes positifs, en comparant avec une série de Riemann, que la série est divergente. On a bien démontré la règle de Raabe-Duhamel. Cet exercice vous a plu? Tagged: Binôme de Newton coefficient binomial Exercices corrigés factorielles intégrales mathématiques maths prépas prépas scientifiques Navigation de l'article
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé 1
Exercices - Séries numériques - étude pratique: corrigé Convergence de séries à termes positifs Exercice 1 - Quelques convergences - L2/Math Spé - ⋆ 1. On a limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d'Alembert. 3. On a: Il résulte de lim∞ n 2 un = exp 2 ln n − √ n ln 2 = exp − √ ln n n ln 2 − 2 √. n ln n √ n = 0 que lim n→∞ n2un = 0, et par comparaison à une série de Riemann, la série est convergente. 4. Puisque ln(1 + x) ∼0 x, on obtient et la série est donc divergente. un ∼+∞ 5. En utilisant le développement limité du cosinus, ou l'équivalent 1 − cos x ∼0 x2 2, on voit que: et la série est convergente. un ∼+∞ 1 n, π2, 2n2 6. On a (−1) n + n ∼+∞ n et n 2 + 1 ∼+∞ n 2, et donc (−1) n + n n 2 + 1 ∼+∞ Par comparaison à une série de Riemann, la série n un est divergente.
Règle De Raabe Duhamel Exercice Corrigé Mode
On a: un+1 un = 2n + 1 1 = 1 − 2n + 2 2n + 2. La suite un+1/un converge donc vers 1. En outre, on a: (n + 1)un+1 nun = 2n + 1 2n ≥ 1. Par conséquent, la suite nun est croissante, et comme un est positive, on a: nun ≥ u1 =⇒ un ≥ u1 n. La série de terme général (un) est divergente (minorée par une série divergente). On a de même: vn+1 vn = 2n − 1 2n D'autre part, un calcul immédiat montre que: (n + 1) α vn+1 n α vn → 1. = 1 + 1 α 1 − n 3. 2n + 2 6 Exercices - Séries numériques - étude pratique: corrigé Effectuons un développement limité de cette quantité au voisinage de +∞ afin d'obtenir la position par rapport à 1. On a: (n + 1) α vn+1 n α vn = 1 + 2α − 3 + o(1/n). 2n + 2 Pour n assez grand, (n+1)αvn+1 nα 2α−3 − 1 a le signe de vn 2n+2, qui est négatif puisqu'on a supposé α < 3/2. Soit n0 un rang à partir duquel l'inégalité est vraie. On a, pour n > n0: On a donc obtenu: vn+1 vn0 = vn+1 vn ≤ ≤ vn−1 vn−2... vn0+1 vn0 nα (n + 1) α (n − 1) α nα... nα 0.
\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^nn^\beta}, \ \alpha, \beta\in\mathbb R.
Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose
$$u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}xdx. $$
\[ u_n=(-1)^n \int_0^\pi \frac{\sin t}{n\pi+t}dt. \]
Démontrer alors que $\sum u_n$ est convergente. Démontrer que $|u_n|\geq \frac2{(n+1)\pi}$ pour tout $n\geq 1$. En déduire que $\sum_n u_n$ ne converge pas absolument. Enoncé Discuter la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{a^n2^{\sqrt n}}{2^{\sqrt n}+b^n}, $$ où $a$ et $b$
sont deux nombres complexes, $a\neq 0$. Enoncé Suivant la position du point de coordonnées $(x, y)$ dans le plan, étudier la nature de la série de terme général
$$u_n=\frac{x^n}{y^n+n}. $$
Enoncé On fixe $\alpha>0$ et on pose $u_n=\sum_{p=n}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p^\alpha}$. Le but de l'exercice est démontrer
que la série de terme général $u_n$ converge. Soit $n\geq 1$ fixé. On pose
$$v_p=\frac{1}{(p+n)^\alpha}-\frac{1}{(p+n+1)^\alpha}. $$
Démontrer que la suite $(v_p)$ décroît vers 0. En déduire la convergence de $\sum_{p=0}^{+\infty}(-1)^pv_p$.
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